Обратное делимое число

Целые числа, которые делятся поровну, перестановка цифр

В теории чисел перестановка цифр числа $n$ иногда дает другое число $m$ , которое делится на $n$ . Это происходит тривиально, когда $n$ является палиндромным числом ; нетривиальные обратные делители — это

1089, 2178, 10989, 21978, 109989, 219978, 1099989, 2199978, ... (последовательность A008919 в OEIS ).

Например, 1089 × 9 = 9801, перевернутое число 1089, и 2178 × 4 = 8712, перевернутое число 2178. ^[1]^[2]^[3]^[4] Кратные числа, полученные путем переворота этих чисел, такие как 9801 или 8712, иногда называются палинтипами . ^[5]

Характеристики

Каждый нетривиальный обратный делитель должен быть либо 1/4, либо 1/9 своего обратного делителя. ^[1]^[2]

Число $d$ -значных нетривиальных обратных делителей равно , где обозначает $i-$ е число Фибоначчи . Например, существует два четырехзначных обратных делителя, соответствующих формуле . ^[2]^[6] $2F(\lfloor (d-2)/2\rfloor )$ $F(я)$ $2F(\lfloor (d-2)/2\rfloor )=2F(1)=2$

История

Свойства обратных делителей первых двух из этих чисел, 1089 и 2178, были упомянуты У. В. Раузом Боллом в его «Математических развлечениях» . ^[7] В «Апологии математика» Г. Х. Харди критиковал Рауза Болла за включение этой проблемы, написав:

«Это странные факты, очень подходящие для головоломок и, вероятно, развлекающие любителей, но в них нет ничего, что могло бы привлечь математика. Доказательства не являются ни сложными, ни интересными — просто утомительными. Теоремы несерьезны; и ясно, что одной из причин (хотя, возможно, и не самой важной) является крайняя специфичность как изложений, так и доказательств, которые не поддаются никакому значительному обобщению». ^[8]

Ссылки

^ ab Вебстер, Р.; Уильямс, Г. (2013), «По следам обратных делителей: 1089 и все последующие» (PDF) , Mathematical Spectrum , 45 (3): 96–102.
^ abc Sloane, NJA (2014), «2178 и все такое», Fibonacci Quarterly , 52 : 99–120 , arXiv : 1307.0453 , Bibcode : 2013arXiv1307.0453S.
^ Гримм, CA; Баллью, DW ( 1975–1976 ), «Обратимые кратные», Журнал занимательной математики , 8 : 89–91. Как цитирует Слоан (2014).
^ Клозинский, Л. Ф.; Смолярский, Д. К. (1969), «Об обратном порядке цифр», Mathematics Magazine , 42 (4): 208–210 , doi :10.2307/2688542, JSTOR 2688542 .
^ Холт, Бенджамин В. (2014), «Некоторые общие результаты и открытые вопросы о палинтипльных числах», Целые числа , 14 : A42, MR 3256704.
^ Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A008919". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Болл, WW Rouse (1914), Математические развлечения и эссе, Macmillan, стр. 12.
^ GH Hardy (2012), Апология математика, Cambridge University Press, стр. 105, ISBN 9781107604636.

[ww-1] Вебстер, Р.; Уильямс, Г. (2013), «По следам обратных делителей: 1089 и все последующие» (PDF) , Mathematical Spectrum , 45 (3): 96–102.

[njas-2] Sloane, NJA (2014), «2178 и все такое», Fibonacci Quarterly , 52 : 99–120 , arXiv : 1307.0453 , Bibcode : 2013arXiv1307.0453S.

[3] ^ Гримм, CA; Баллью, DW ( 1975–1976 ), «Обратимые кратные», Журнал занимательной математики , 8 : 89–91. Как цитирует Слоан (2014).

[4] Клозинский, Л. Ф.; Смолярский, Д. К. (1969), «Об обратном порядке цифр», Mathematics Magazine , 42 (4): 208–210 , doi :10.2307/2688542, JSTOR 2688542 .

[5] Холт, Бенджамин В. (2014), «Некоторые общие результаты и открытые вопросы о палинтипльных числах», Целые числа , 14 : A42, MR 3256704.

[6] Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A008919". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[7] Болл, WW Rouse (1914), Математические развлечения и эссе, Macmillan, стр. 12.

[8] GH Hardy (2012), Апология математика, Cambridge University Press, стр. 105, ISBN 9781107604636.