Время пребывания (статистика)

В статистике время пребывания — это среднее количество времени, которое требуется случайному процессу для достижения определенного граничного значения, обычно далекого от среднего.

Предположим, что y ( t ) — это реальный скалярный стохастический процесс с начальным значением y ( t ₀ ) = y ₀ , средним значением y _avg и двумя критическими значениями { y _avg − y _min , y _avg + y _max }, где y _min > 0 и y _max > 0. Определим время первого выхода y ( t ) из интервала (− y _min , y _max ) как

${\displaystyle \tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{ \operatorname {avg} }+y_ {\max }\}\},}$

где "inf" - это инфимум . Это наименьшее время после начального времени t ₀ , в течение которого y ( t ) равно одному из критических значений, образующих границу интервала, при условии, что y ₀ находится внутри интервала.

Поскольку y ( t ) случайным образом переходит от своего начального значения к границе, τ( y ₀ ) сама по себе является случайной величиной . Среднее значение τ( y ₀ ) является временем пребывания , ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].}$

Для гауссовского процесса и границы, далекой от среднего, время пребывания равно обратной величине частоты превышения меньшего критического значения, ^[2]

${\displaystyle {\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),}$

где частота превышения N равна

${\displaystyle N(y_{\max})=N_{0}e^{-y_{\max }^{2}/2\sigma _{y}^{2}},}$

( 1 )

σ _y ² — дисперсия гауссовского распределения,

${\displaystyle N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},}$

и Φ _y ( f ) — спектральная плотность мощности гауссовского распределения на частоте f .

Предположим, что вместо скаляра y ( t ) имеет размерность p , или y ( t ) ∈ ℝ ^p . Определим область Ψ ⊂ ℝ ^p , содержащую y _avg и имеющую гладкую границу ∂Ψ . В этом случае определим время первого прохождения y ( t ) из области Ψ как

${\displaystyle \tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.}$

В этом случае эта нижняя грань является наименьшим временем, при котором y ( t ) находится на границе Ψ, а не равна одному из двух дискретных значений, предполагая, что y ₀ находится внутри Ψ . Среднее значение этого времени является временем пребывания , ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].}$

Логарифмическое время пребывания — это безразмерная вариация времени пребывания. Оно пропорционально натуральному логарифму нормализованного времени пребывания. Отмечая экспоненту в уравнении ( 1 ), логарифмическое время пребывания гауссовского процесса определяется как ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.}$

Это тесно связано с другим безразмерным дескриптором этой системы — числом стандартных отклонений между границей и средним значением, min( y _min , y _max )/ σ _y .

В общем случае нормировочный коэффициент N ₀ может быть трудно или невозможно вычислить, поэтому безразмерные величины могут быть более полезны в приложениях.

• Анализ кумулятивной частоты
• Теория экстремальных значений
• Модель первого удара
• Частота превышения
• Среднее время между отказами

• Меерков, С. М.; Рунольфссон, Т. (1986). Целевое управление . Труды 25-й конференции по принятию решений и управлению. Афины: IEEE. С. 494–498.
• Меерков, С.М.; Рунольфссон, Т. (1987). Управление нацеливанием на выход . Труды 26-й конференции по принятию решений и управлению. Лос-Анджелес: IEEE. С. 1734–1739.
• Ричардсон, Джонхенри Р.; Аткинс, Элла М.; Кабамба, Пьер Т.; Жирар, Анук Р. (2014). «Запасы безопасности для полета через стохастические порывы». Журнал руководства, управления и динамики . 37 (6). AIAA: 2026–2030. doi : 10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .