Парадокс Равена

Парадокс воронов , также известный как парадокс Гемпеля , вороны Гемпеля или, реже, парадокс внутренней орнитологии , ^{[1] [2]} — это парадокс, возникающий из вопроса о том, что является доказательством истинности утверждения. Наблюдение за объектами, которые не являются ни черными, ни воронами, может формально увеличить вероятность того, что все вороны черные, хотя интуитивно эти наблюдения не связаны.

Эта проблема была предложена логиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах, чтобы проиллюстрировать противоречие между индуктивной логикой и интуицией . ^[3]

Гемпель описывает парадокс с точки зрения гипотезы : [ ^{4] [5]}

(1) Все вороны черные . В форме импликации это можно выразить так: Если что-то является вороном, то оно черное.

Посредством противопоставления это утверждение эквивалентно :

(2) Если что-то не черное, то это не ворон.

Во всех обстоятельствах, когда (2) истинно, (1) также истинно, и аналогично, во всех обстоятельствах, когда (2) ложно (т. е. если вообразить мир, в котором существует нечто, что не является черным, но является вороном), (1) также ложно.

Если дано общее утверждение, например, что все вороны черные , то форма того же утверждения, которая относится к конкретному наблюдаемому экземпляру общего класса, обычно будет считаться доказательством этого общего утверждения. Например,

(3) Мой домашний ворон — черный.

является доказательством, подтверждающим гипотезу о том, что все вороны черные .

Парадокс возникает, когда этот же процесс применяется к утверждению (2). При взгляде на зеленое яблоко можно наблюдать:

(4) Это зеленое яблоко не черное, и это не ворон.

По той же причине это утверждение является доказательством того, что (2) если что-то не черное, то это не ворон. Но поскольку (как и выше) это утверждение логически эквивалентно (1) все вороны черные , то отсюда следует, что вид зеленого яблока является доказательством, подтверждающим представление о том, что все вороны черные. Этот вывод кажется парадоксальным, поскольку подразумевает, что информация о воронах была получена путем взгляда на яблоко.

Критерий Никода гласит, что только наблюдения за воронами должны влиять на точку зрения относительно того, все ли вороны черные. Наблюдение большего количества случаев черных воронов должно подтверждать точку зрения, наблюдение за белыми или цветными воронами должно противоречить ей, а наблюдения за не-воронами не должны иметь никакого влияния. ^[6]

Условие эквивалентности Гемпеля гласит, что когда предложение X предоставляет доказательства в пользу другого предложения Y, то X также предоставляет доказательства в пользу любого предложения, которое логически эквивалентно Y. ^[7]

Парадокс показывает, что критерий Никода и условие эквивалентности Гемпеля не являются взаимно согласованными. Разрешение парадокса должно отвергнуть по крайней мере одно из: ^[8]

1. отрицательные экземпляры, не имеющие никакого влияния (!PC),
2. условие эквивалентности (EC), или,
3. подтверждение положительными примерами (NC).

Удовлетворительное разрешение должно также объяснять, почему наивно кажется, что есть парадокс. Решения, которые принимают парадоксальное заключение, могут сделать это, представив предложение, которое мы интуитивно знаем как ложное, но которое легко спутать с (PC), в то время как решения, которые отвергают (EC) или (NC), должны представить предложение, которое мы интуитивно знаем как истинное, но которое легко спутать с (EC) или (NC).

Хотя этот вывод из парадокса кажется нелогичным, некоторые подходы допускают, что наблюдения за (цветными) не-воронами на самом деле могут представлять собой весомые доказательства в поддержку гипотезы о (всеобщей черноте) воронов.

Сам Хемпель принял парадоксальный вывод, утверждая, что причина, по которой результат кажется парадоксальным, заключается в том, что мы обладаем априорной информацией, без которой наблюдение за нечерным не-вороном действительно предоставило бы доказательство того, что все вороны черные.

Он иллюстрирует это на примере обобщения «Все соли натрия горят желтым цветом» и просит нас рассмотреть наблюдение, которое происходит, когда кто-то держит кусок чистого льда в бесцветном пламени, которое не желтеет: ^{[4] : 19–20}

Этот результат подтвердил бы утверждение: «Все, что не горит желтым, не является солью натрия», и, следовательно, в силу условия эквивалентности, он подтвердил бы исходную формулировку. Почему это кажется нам парадоксальным? Причина становится ясной, когда мы сравниваем предыдущую ситуацию со случаем эксперимента, в котором объект, химический состав которого нам пока неизвестен, помещается в пламя и не окрашивается в желтый цвет, и в котором последующий анализ показывает, что он не содержит соли натрия. Этот результат, мы, несомненно, должны согласиться, является тем, чего и следовало ожидать на основе гипотезы... таким образом, полученные здесь данные представляют собой подтверждающие доказательства гипотезы. ...

В кажущихся парадоксальными случаях подтверждения мы часто на самом деле не судим об отношении данного свидетельства, E в одиночку, к гипотезе H... мы молчаливо вводим сравнение H с совокупностью свидетельств, которая состоит из E в сочетании с дополнительным количеством информации, которая случайно есть в нашем распоряжении; в нашем примере эта информация включает знание (1) того, что вещество, используемое в эксперименте, является льдом, и (2) что лед не содержит натриевой соли. Если мы предполагаем эту дополнительную информацию как данную, то, конечно, результат эксперимента не может добавить силы рассматриваемой гипотезе. Но если мы будем осторожны, чтобы избежать этой молчаливой ссылки на дополнительное знание... парадоксы исчезнут.

Одной из самых популярных предлагаемых резолюций является принятие заключения о том, что наблюдение за зеленым яблоком дает доказательство того, что все вороны черные, но утверждение, что количество предоставленных подтверждений очень мало из-за большого расхождения между количеством воронов и количеством нечерных объектов. Согласно этой резолюции, вывод кажется парадоксальным, поскольку мы интуитивно оцениваем количество доказательств, предоставленных наблюдением за зеленым яблоком, как равное нулю, когда на самом деле оно не равно нулю, но чрезвычайно мало.

Представление этого аргумента И. Дж. Гудом в 1960 году ^[9] является, пожалуй, самым известным, и с тех пор вариации аргумента пользуются популярностью ^[10] , хотя он был представлен в 1958 году ^[11] , а ранние формы аргумента появились еще в 1940 году. ^[12]

Аргумент Гуда включает в себя расчет веса доказательств, предоставленных наблюдением за черным вороном или белым ботинком в пользу гипотезы, что все вороны в коллекции объектов черные. Вес доказательств — это логарифм фактора Байеса , который в данном случае является просто фактором, на который изменяются шансы гипотезы, когда делается наблюдение. Аргумент выглядит следующим образом:

... предположим, что есть объекты, которые могут быть видны в любой момент, среди которых вороны и черные, и что каждый из объектов имеет вероятность быть увиденным. Пусть будет гипотезой, что есть нечерные вороны, и предположим, что гипотезы изначально равновероятны. Тогда, если мы случайно увидим черного ворона, то байесовский фактор в пользу будет${\displaystyle N}$${\displaystyle r}$${\displaystyle б}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$${\displaystyle H_{0}}$

$${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big ][\text{среднее}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$$

т.е. около 2, если известно, что число существующих воронов велико. Но фактор, если мы видим белый ботинок, составляет всего

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}\end{array}}}$$

и это превышает единицу только примерно на , если велико по сравнению с . Таким образом, вес доказательства, предоставленного видом белого ботинка, положителен, но мал, если известно, что число воронов мало по сравнению с числом нечерных объектов. ^[13]${\displaystyle r/(2N-2b)}$${\displaystyle N-b}$${\displaystyle r}$

Многие из сторонников этого решения и его вариантов были сторонниками байесовской вероятности, и теперь его обычно называют байесовским решением, хотя, как замечает Чихара ^[14] , «нет такого понятия, как байесовское решение. Есть много различных «решений», которые байесовцы выдвинули с использованием байесовских методов». Известные подходы, использующие байесовские методы (некоторые из которых принимают !PC и вместо этого отвергают NC), включают Эрмана, ^[15] Иллса, ^[16] Гибсона, ^[17] Хосиассона-Линденбаума , ^[12] Хаусона и Урбаха, ^[18] Маки, ^[19] и Хинтикку, ^[20], который утверждает, что его подход «более байесовский, чем так называемое «байесовское решение» того же парадокса». Байесовские подходы, использующие теорию индуктивного вывода Карнапа, включают Хамбурга ^[21], Махера ^[8] и Фительсона и Хоуторна ^[10] . Вранас ^[22] ввел термин «Стандартное байесовское решение», чтобы избежать путаницы.

Махер ^[8] принимает парадоксальный вывод и уточняет его:

Неворон (любого цвета) подтверждает, что все вороны черные, потому что

• (i) информация о том, что этот объект не является вороном, исключает возможность того, что этот объект является контрпримером к обобщению, и
• (ii) это уменьшает вероятность того, что ненаблюдаемые объекты являются воронами, тем самым уменьшая вероятность того, что они являются контрпримерами к обобщению.

Чтобы достичь (ii), он обращается к теории индуктивной вероятности Карнапа, которая (с байесовской точки зрения) является способом назначения априорных вероятностей, который естественным образом реализует индукцию. Согласно теории Карнапа, апостериорная вероятность, , того, что объект, , будет иметь предикат, , после того, как доказательства были обнаружены, равна:${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$$

где — начальная вероятность того, что имеет место предикат ; — количество объектов, которые были исследованы (согласно имеющимся данным ); — количество исследованных объектов, которые, как оказалось, имеют предикат , а — константа, которая измеряет устойчивость к обобщению.${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle n_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda }$

Если близко к нулю, то будет очень близко к единице после одного наблюдения объекта, который, как оказалось, имел предикат , в то время как если намного больше , то будет очень близко к независимо от доли наблюдаемых объектов, которые имели предикат .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(Fa|E)}$${\displaystyle P(Fa)}$${\displaystyle F}$

Используя этот подход Карнапа, Махер определяет утверждение, которое мы интуитивно (и правильно) знаем как ложное, но легко путаем с парадоксальным выводом. Утверждение, о котором идет речь, заключается в том, что наблюдение за не-воронами говорит нам о цвете воронов. Хотя это интуитивно ложно и также ложно согласно теории индукции Карнапа, наблюдение за не-воронами (согласно той же теории) заставляет нас уменьшить нашу оценку общего числа воронов и тем самым уменьшает предполагаемое число возможных контрпримеров к правилу, что все вороны черные.

Таким образом, с точки зрения Байеса-Карнапа, наблюдение за не-вороном ничего не говорит нам о цвете воронов, но оно говорит нам о распространенности воронов и подтверждает утверждение «Все вороны черные», уменьшая нашу оценку количества воронов, которые могут не быть черными.

Большая часть обсуждения парадокса в целом и байесовского подхода в частности была сосредоточена на релевантности фоновых знаний. Удивительно, но Махер ^[8] показывает, что для большого класса возможных конфигураций фоновых знаний наблюдение за нечерным не-вороном дает ровно столько же подтверждений, сколько наблюдение за черным вороном. Конфигурации фоновых знаний, которые он рассматривает, — это те, которые предоставляются примерным суждением , а именно суждением, которое является конъюнкцией атомарных суждений, каждое из которых приписывает один предикат одному индивидууму, без двух атомарных суждений, включающих одного и того же индивидуума. Таким образом, суждение формы «A — черный ворон, а B — белый ботинок» можно считать примерным суждением, взяв «черный ворон» и «белый ботинок» в качестве предикатов.

Доказательство Махера, по-видимому, противоречит результату байесовского аргумента, который состоял в том, что наблюдение за нечерным не-вороном дает гораздо меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Причина в том, что фоновые знания, которые используют Гуд и другие, не могут быть выражены в форме выборочного суждения — в частности, варианты стандартного байесовского подхода часто предполагают (как это сделал Гуд в приведенном выше аргументе), что общее количество воронов, нечерных объектов и/или общее количество объектов являются известными величинами. Махер комментирует, что «причина, по которой мы думаем, что нечерных вещей больше, чем воронов, заключается в том, что это было верно для вещей, которые мы наблюдали до сих пор. Доказательства такого рода могут быть представлены выборочным суждением. Но ... при любом выборочном суждении в качестве фонового доказательства нечерный не-ворон подтверждает A так же сильно, как и черный ворон ... Таким образом, мой анализ предполагает, что этот ответ на парадокс [т. е. стандартный байесовский] не может быть правильным».

Fitelson & Hawthorne ^[10] исследовали условия, при которых наблюдение за нечерным не-вороном дает меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Они показывают, что если — объект, выбранный случайным образом, — утверждение, что объект черный, и — утверждение, что объект является вороном, то условие:${\displaystyle a}$${\displaystyle Ba}$${\displaystyle Ra}$

$${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$$

достаточно для того, чтобы наблюдение за не-черным не-вороном дало меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Здесь линия над предложением указывает на логическое отрицание этого предложения.

Это условие не говорит нам, насколько велика разница в предоставленных доказательствах, но более поздний расчет в той же статье показывает, что вес доказательства, предоставленного черным вороном, превышает вес доказательства, предоставленного не черным не-вороном, примерно на . Это равно количеству дополнительной информации (в битах, если основание логарифма равно 2), которая предоставляется, когда обнаруживается, что ворон неизвестного цвета черный, учитывая гипотезу, что не все вороны черные.${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$

Фительсон и Хоуторн ^[10] объясняют, что:

При нормальных обстоятельствах может быть где-то около 0,9 или 0,95; так же как и где-то около 1,11 или 1,05. Таким образом, может показаться, что отдельный случай черного ворона не дает намного больше поддержки, чем не черный не-ворон. Однако при правдоподобных условиях можно показать, что последовательность случаев (т. е. n черных воронов по сравнению с n не черными не-воронами) дает отношение отношений правдоподобия порядка , которое значительно увеличивается для больших .${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$${\displaystyle 1/p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (1/p)^{n}}$${\displaystyle n}$

Авторы отмечают, что их анализ полностью согласуется с предположением о том, что нечерный не-ворон предоставляет крайне малое количество доказательств, хотя они и не пытаются это доказать; они просто подсчитывают разницу между количеством доказательств, которые предоставляет черный ворон, и количеством доказательств, которые предоставляет нечерный не-ворон.

Некоторые подходы к разрешению парадокса фокусируются на индуктивном шаге. Они оспаривают, является ли наблюдение конкретного случая (например, одного черного ворона) тем видом доказательства, которое обязательно повышает уверенность в общей гипотезе (например, что вороны всегда черные).

Гуд ^[23] приводит пример фоновых знаний, относительно которых наблюдение за черным вороном уменьшает вероятность того, что все вороны черные:

Предположим, что мы знаем, что находимся в одном из двух миров, и рассматриваемая гипотеза H заключается в том, что все вороны в нашем мире черные. Мы заранее знаем, что в одном мире есть сто черных воронов, ни одного нечерного ворона и миллион других птиц; и что в другом мире есть тысяча черных воронов, один белый ворон и миллион других птиц. Птица выбирается равновероятно случайным образом из всех птиц в нашем мире. Она оказывается черным вороном. Это весомое доказательство ... того, что мы находимся во втором мире, где не все вороны черные.

Гуд приходит к выводу, что белый ботинок — это « отвлекающий маневр »: Иногда даже черный ворон может служить доказательством против гипотезы, что все вороны черные, поэтому тот факт, что наблюдение за белым ботинок может ее подтвердить, не удивителен и не заслуживает внимания. Критерий Никода ложен, по мнению Гуда, и поэтому парадоксальный вывод не следует.

Гемпель отверг это как решение парадокса, настаивая на том, что предложение «c — ворон и он черный» должно рассматриваться «само по себе и без ссылки на какую-либо другую информацию», и указывая, что «в разделе 5.2(b) моей статьи в Mind подчеркивалось , что сама видимость парадоксальности в случаях, подобных случаю с белым ботинком, отчасти является результатом несоблюдения этого принципа». ^[24]

Возникает вопрос: следует ли понимать парадокс в контексте полного отсутствия фоновой информации (как предполагает Хемпель) или в контексте фоновой информации, которой мы фактически обладаем относительно воронов и черных объектов, или с учетом всех возможных конфигураций фоновой информации.

Гуд показал, что для некоторых конфигураций фоновых знаний критерий Никода ложен (при условии, что мы готовы приравнять «индуктивно поддерживать» к «увеличивать вероятность» – см. ниже). Оставалась возможность, что в отношении нашей фактической конфигурации знаний, которая сильно отличается от примера Гуда, критерий Никода все еще может быть верен, и поэтому мы все еще можем прийти к парадоксальному выводу. Гемпель, с другой стороны, настаивает, что само наше фоновое знание является ложным следом, и что мы должны рассматривать индукцию относительно состояния полного невежества.

В своем предложенном решении Махер неявно использовал тот факт, что утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет. Гуд уже использовал этот факт ранее, чтобы ответить на настойчивое утверждение Гемпеля о том, что критерий Никода следует понимать как верный при отсутствии фоновой информации: ^[25]

... представьте себе бесконечно умного новорожденного, имеющего встроенные нейронные цепи, позволяющие ему иметь дело с формальной логикой, английским синтаксисом и субъективной вероятностью. Теперь он мог бы утверждать, после подробного определения ворона, что крайне маловероятно, что существуют какие-либо вороны, и поэтому крайне вероятно, что все вороны черные, то есть это правда. «С другой стороны», продолжает он, «если есть вороны, то есть разумная вероятность того, что они бывают разных цветов. Поэтому, если бы я обнаружил, что существует даже черный ворон, я бы посчитал это менее вероятным, чем это было изначально».${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

По мнению Гуда, это настолько близко, насколько можно разумно ожидать, чтобы приблизиться к состоянию полного невежества, и, похоже, условие Никода все еще ложно. Махер сделал аргумент Гуда более точным, используя теорию индукции Карнапа, чтобы формализовать представление о том, что если есть один ворон, то, скорее всего, их много. ^[26]

Аргумент Махера рассматривает вселенную, состоящую ровно из двух объектов, каждый из которых вряд ли будет вороном (шанс один из тысячи) и вряд ли будет черным (шанс один из десяти). Используя формулу Карнапа для индукции, он обнаруживает, что вероятность того, что все вороны черные, уменьшается с 0,9985 до 0,8995, когда обнаруживается, что один из двух объектов — черный ворон.

Махер приходит к выводу, что не только парадоксальное заключение верно, но и критерий Никода ложен при отсутствии фоновых знаний (за исключением знания о том, что число объектов во вселенной равно двум и что вороны встречаются реже, чем черные предметы).

Куайн ^[27] утверждал, что решение парадокса заключается в признании того, что определенные предикаты , которые он назвал естественными видами , имеют выдающийся статус по отношению к индукции. Это можно проиллюстрировать на примере предиката grue Нельсона Гудмана . Объект является grue, если он был синим до (скажем) 2025 года и зеленым после него. Очевидно, что мы ожидаем, что объекты, которые были синими до 2025 года, останутся синими и после него, но мы не ожидаем, что объекты, которые были признаны grue до 2025 года, будут синими после 2025 года, поскольку после 2025 года они будут зелеными. Объяснение Куайна заключается в том, что «blue» — это естественный вид; привилегированный предикат, который мы можем использовать для индукции, в то время как «grue» не является естественным видом, и использование индукции с ним приводит к ошибке.

Это предполагает разрешение парадокса – критерий Никода верен для естественных видов, таких как «синий» и «черный», но ложен для искусственно придуманных предикатов, таких как «grue» или «не-raven». Парадокс возникает, согласно этому разрешению, потому что мы неявно интерпретируем критерий Никода как применимый ко всем предикатам, когда на самом деле он применим только к естественным видам.

Другой подход, который отдает предпочтение определенным предикатам перед другими, был принят Хинтиккой. ^[20] Хинтикка был мотивирован найти байесовский подход к парадоксу, который не использовал бы знания об относительных частотах воронов и черных вещей. Аргументы относительно относительных частот, утверждает он, не всегда могут объяснить воспринимаемую нерелевантность доказательств, состоящих из наблюдений объектов типа A для целей изучения объектов типа not-A.

Его аргумент можно проиллюстрировать, перефразировав парадокс, используя предикаты, отличные от «ворон» и «черный». Например, «Все мужчины высокие» эквивалентно «Все низкие люди — женщины», и поэтому наблюдение, что случайно выбранный человек — низкая женщина, должно предоставить доказательство того, что все мужчины высокие. Несмотря на то, что у нас нет фоновых знаний, чтобы указать, что мужчин значительно меньше, чем низких людей, мы все равно склонны отвергнуть вывод. Пример Хинтикки выглядит следующим образом: «обобщение типа «никакие материальные тела не являются бесконечно делимыми», по-видимому, совершенно не зависит от вопросов, касающихся нематериальных сущностей, независимо от того, что человек думает об относительной частоте материальных и нематериальных сущностей в своей вселенной дискурса». ^[20]

Его решение заключается во введении порядка в набор предикатов. Когда логическая система снабжена этим порядком, можно ограничить область действия обобщения, например, «Все вороны черные», так, чтобы оно применялось только к воронам, а не к нечерным вещам, поскольку порядок дает воронам привилегии перед нечерными вещами. Как он говорит:

Если мы имеем право предположить, что область действия обобщения «Все вороны черные» может быть ограничена воронами, то это означает, что у нас есть некоторая внешняя информация, на которую мы можем положиться относительно фактической ситуации. Парадокс возникает из-за того, что эта информация, которая окрашивает наше спонтанное видение ситуации, не включена в обычные трактовки индуктивной ситуации. ^[20]

Некоторые подходы к разрешению парадокса отвергают условие эквивалентности Гемпеля. То есть, они не могут рассматривать доказательства, подтверждающие утверждение, что все нечерные объекты не являются воронами, как обязательно подтверждающие логически эквивалентные утверждения, такие как все вороны черные .

Шеффлер и Гудман ^[28] использовали подход к парадоксу, который включает в себя точку зрения Карла Поппера о том, что научные гипотезы никогда не подтверждаются на самом деле, а только опровергаются.

Подход начинается с замечания, что наблюдение за черным вороном не доказывает, что «Все вороны черные», но опровергает противоположную гипотезу: «Ни один ворон не черный». С другой стороны, нечерный не-ворон согласуется как с «Все вороны черные», так и с «Ни один ворон не черный». Как говорят авторы:

... утверждение, что все вороны черные, не просто подтверждается свидетельством о черном вороне, но и подкрепляется таким свидетельством, поскольку черный ворон опровергает противоположное утверждение, что все вороны не черные, т. е. удовлетворяет его отрицанию. Другими словами, черный ворон скорее удовлетворяет гипотезе , что все вороны черные, чем нет: таким образом, он выборочно подтверждает , что все вороны черные .

Избирательное подтверждение нарушает условие эквивалентности, поскольку черный ворон выборочно подтверждает утверждение «Все вороны черные», но не «Все нечерные предметы — не вороны».

Концепция выборочного подтверждения Шеффлера и Гудмена является примером интерпретации «предоставляет доказательства в пользу...», которая не совпадает с «увеличивает вероятность...». Это должно быть общей чертой всех резолюций, отвергающих условие эквивалентности, поскольку логически эквивалентные предложения всегда должны иметь одинаковую вероятность.

Невозможно, чтобы наблюдение за черным вороном увеличило вероятность предложения «Все вороны черные», не вызвав точно такого же изменения вероятности того, что «Все нечерные вещи не являются воронами». Если наблюдение индуктивно поддерживает первое, но не второе, то «индуктивно поддерживает» должно относиться к чему-то иному, чем к изменениям в вероятностях предложений. Возможная лазейка — интерпретировать «Все» как «Почти все» — «Почти все вороны черные» не эквивалентно «Почти все нечерные вещи не являются воронами», и эти предложения могут иметь очень разные вероятности. ^[29]

Это поднимает более широкий вопрос об отношении теории вероятностей к индуктивному рассуждению. Карл Поппер утверждал, что теория вероятностей сама по себе не может объяснить индукцию. Его аргумент включает разделение гипотезы, , на часть, которая дедуктивно выводится из доказательств, , и другую часть. Это можно сделать двумя способами.${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Сначала рассмотрим расщепление: ^[30]

$${\displaystyle H=A\ and\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ and\ C}$$

где , и вероятностно независимы: и т. д. Условие, необходимое для того, чтобы такое разделение H и E было возможным, — это , то есть, что вероятностно поддерживается .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$${\displaystyle P(H|E)>P(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Наблюдение Поппера заключается в том, что часть, которая получает поддержку от , на самом деле дедуктивно следует из , в то время как часть, которая не следует дедуктивно из , вообще не получает никакой поддержки от , то есть .${\displaystyle B}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P(A|E)=P(A)}$

Во-вторых, расщепление: ^[31]

$${\displaystyle H=(H\ or\ E)\ and\ (H\ or\ {\overline {E}})}$$

разделяется на , который, как говорит Поппер, «является логически самой сильной частью (или содержания ), которая следует [дедуктивно] из », и , который, как он говорит, «содержит все , что выходит за рамки ». Он продолжает:${\displaystyle H}$${\displaystyle (H\ or\ E)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$

Дает ли в этом случае какую-либо поддержку фактору , который в присутствии необходим для получения ? Ответ: Нет. Никогда не дает. Действительно, контрподдержка, если только или или (что является возможностями, не представляющими интереса). ...${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$${\displaystyle P(H|E)=1}$${\displaystyle P(E)=1}$

Этот результат полностью сокрушителен для индуктивной интерпретации исчисления вероятностей. Вся вероятностная поддержка является чисто дедуктивной: та часть гипотезы, которая не выводится дедуктивно из доказательств, всегда решительно опровергается доказательствами... Существует такая вещь, как вероятностная поддержка; может быть даже такая вещь, как индуктивная поддержка (хотя мы вряд ли так думаем). Но исчисление вероятностей показывает, что вероятностная поддержка не может быть индуктивной поддержкой.

Ортодоксальная теория проверки гипотез Неймана–Пирсона рассматривает, как решить, принимать или отклонять гипотезу, а не какую вероятность присвоить гипотезе. С этой точки зрения гипотеза о том, что «Все вороны черные», принимается не постепенно , по мере того, как ее вероятность приближается к единице, когда делается все больше и больше наблюдений, а принимается единовременно в результате оценки уже собранных данных. Как выразили Нейман и Пирсон:

Не надеясь узнать, истинна или ложна каждая отдельная гипотеза, мы можем искать правила, регулирующие наше поведение по отношению к ним, следуя которым, мы гарантируем, что в долгосрочной перспективе опыта мы не будем слишком часто ошибаться. ^[32]

Согласно этому подходу, нет необходимости присваивать какое-либо значение вероятности гипотезы , хотя, безусловно, следует учитывать вероятность данных , заданных гипотезой или заданной конкурирующей гипотезой, при принятии решения о принятии или отклонении. Принятие или отклонение гипотезы несет с собой риск ошибки .

Это контрастирует с байесовским подходом, который требует, чтобы гипотезе была назначена априорная вероятность, которая пересматривается в свете наблюдаемых данных для получения окончательной вероятности гипотезы. В байесовской структуре нет риска ошибки, поскольку гипотезы не принимаются и не отвергаются; вместо этого им назначаются вероятности.

Был проведен анализ парадокса с ортодоксальной точки зрения, который привел, среди прочего, к отказу от условия эквивалентности:

Кажется очевидным, что нельзя одновременно принять гипотезу о том, что все P являются Q, и также отвергнуть контрапозицию, т. е. что все не-Q являются не-P. Тем не менее, легко увидеть, что по теории тестирования Неймана-Пирсона тест «Все P являются Q» не обязательно является тестом «Все не-Q являются не-P» или наоборот. Тест «Все P являются Q» требует ссылки на некоторую альтернативную статистическую гипотезу в форме все P являются Q , тогда как тест «Все не-Q являются не-P» требует ссылки на некоторую статистическую альтернативу в форме все не-Q являются не-P,. Но эти два набора возможных альтернатив различны... Таким образом, можно было бы провести тест без проверки его контрапозиции. ^[33]${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle H}$

Следующие предложения подразумевают друг друга: «Каждый объект либо черный, либо не ворон», «Каждый ворон черный» и «Каждый нечерный объект является не-вороном». Поэтому они, по определению, логически эквивалентны. Однако эти три предложения имеют разные области: первое предложение говорит что-то о «каждом объекте», а второе говорит что-то о «каждом вороне».

Первое предложение — единственное, область квантификации которого не ограничена («все объекты»), поэтому это единственное предложение, которое можно выразить в логике первого порядка . Оно логически эквивалентно:

$${\displaystyle \forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$$

а также

$${\displaystyle \forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}}$$

где указывает на материальное условное наклонение , согласно которому «Если то » можно понимать как « или ».${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

Несколько авторов утверждали, что материальная импликация не полностью отражает значение «Если то » (см. парадоксы материальной импликации ). «Для каждого объекта, либо черный, либо не ворон» является истинным , когда нет воронов. Именно из-за этого «Все вороны черные» считается истинным, когда нет воронов. Более того, аргументы, которые Гуд и Махер использовали для критики критерия Никода (см. § Ребенок Гуда выше), опирались на этот факт — что «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что нет воронов.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Сказать, что все вороны черные при отсутствии воронов — пустое утверждение. Оно ни к чему не относится. «Все вороны белые» одинаково релевантно и истинно, если это утверждение считается имеющим хоть какую-то истинность или релевантность.

Некоторые подходы к парадоксу пытались найти другие способы интерпретации выражений «Если, то » и «Все есть » , которые устранили бы кажущуюся эквивалентность между «Все вороны черные» и «Все нечерные предметы не являются воронами».${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Один из таких подходов предполагает введение многозначной логики , согласно которой «If then » имеет значение истинности , что означает «Неопределенный» или «Неуместный», когда является ложным. ^[34] В такой системе противопоставление не допускается автоматически: «If then » не эквивалентно «If then ». Следовательно, «Все вороны черные» не эквивалентно «Все нечерные вещи не являются воронами».${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

В этой системе, когда происходит противопоставление, модальность вовлеченного условного предложения меняется с изъявительного («Если бы этот кусок масла был нагрет до 32 °C, то он растаял ») на контрфактуальное («Если бы этот кусок масла был нагрет до 32 °C, то он бы растаял»). Согласно этому аргументу, это устраняет предполагаемую эквивалентность, необходимую для вывода о том, что желтые коровы могут информировать нас о воронах:

В правильном грамматическом использовании контрапозитивный аргумент не должен быть полностью сформулирован в изъявительном наклонении. Таким образом:

Из того, что если по этой спичке поцарапать, то она загорится, следует, что если она не загорится, то ее не поцарапали.

неловко. Мы должны сказать:

Из того, что если поцарапать эту спичку, то она загорится, следует, что если бы она не загорелась, то она бы не поцарапалась. ...

Можно задаться вопросом, какое влияние эта интерпретация Закона Противопоставления оказывает на парадокс подтверждения Гемпеля. «Если это ворон, то это черный» эквивалентно «Если бы не был черным, то не был бы вороном». Следовательно, все, что подтверждает последнее, должно также, по Условию Эквивалентности, подтверждать первое. Это так, но желтые коровы все равно не могут фигурировать в подтверждении «Все вороны черные», потому что в науке подтверждение достигается путем предсказания, а предсказания правильно излагаются в изъявительном наклонении. Бессмысленно спрашивать, что подтверждает контрфактуальное. ^[34]${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Несколько комментаторов заметили, что предложения «Все вороны черные» и «Все нечерные вещи не являются воронами» предполагают разные процедуры проверки гипотез. Например, Гуд пишет: ^[9]

Как предложения, эти два утверждения логически эквивалентны. Но они оказывают разное психологическое воздействие на экспериментатора. Если его просят проверить, все ли вороны черные, он будет искать ворона, а затем решать, черный ли он. Но если его просят проверить, все ли нечерные предметы являются не-воронами, он может искать нечерный предмет, а затем решать, является ли он вороном.

Совсем недавно было высказано предположение, что «Все вороны черные» и «Все нечерные вещи не являются воронами» могут иметь разные эффекты, если их принять . ^[35] Аргумент рассматривает ситуации, в которых общее количество или распространенность воронов и черных объектов неизвестны, но оценены. Когда принимается гипотеза «Все вороны черные», согласно аргументу, оцененное количество черных объектов увеличивается, в то время как оцененное количество воронов не меняется.

Это можно проиллюстрировать, рассмотрев ситуацию двух людей, которые имеют одинаковую информацию относительно воронов и черных объектов, и которые имеют одинаковые оценки количества воронов и черных объектов. Для конкретности предположим, что всего имеется 100 объектов, и, согласно информации, доступной вовлеченным людям, каждый объект с такой же вероятностью может быть не-вороном, как и вороном, и с такой же вероятностью может быть черным, как и не-черным:

$${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$$

и предложения независимы для разных объектов , и т. д. Тогда предполагаемое количество воронов равно 50; предполагаемое количество черных вещей равно 50; предполагаемое количество черных воронов равно 25 и предполагаемое количество нечерных воронов (контрпримеров к гипотезам) равно 25.${\displaystyle Ra,\ Rb}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Один из людей проводит статистический тест (например, тест Неймана-Пирсона или сравнение накопленного веса доказательств с пороговым значением) гипотезы «Все вороны черные», в то время как другой проверяет гипотезу «Все нечерные объекты являются неворонами». Для простоты предположим, что доказательства, используемые для теста, не имеют ничего общего с набором из 100 объектов, рассматриваемых здесь. Если первый человек принимает гипотезу «Все вороны черные», то, согласно аргументу, около 50 объектов, цвета которых ранее были под вопросом (вороны), теперь считаются черными, в то время как об остальных объектах (не-воронах) ничего другого не думают. Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 50, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных не-воронов в 25. Указывая эти изменения, этот аргумент явно ограничивает область «Все вороны черные» воронами.

С другой стороны, если второй человек принимает гипотезу, что «Все нечерные объекты — невороны», то приблизительно 50 нечерных объектов, относительно которых было неясно, является ли каждый из них вороном, будут считаться неворонами. В то же время, ничего другого не будет думаться о приблизительно 50 оставшихся объектах (черных объектах). Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 25, количество черных неворонов в 25 и количество нечерных неворонов в 50. Согласно этому аргументу, поскольку два человека расходятся в своих оценках после того, как они приняли разные гипотезы, принятие «Все вороны черные» не эквивалентно принятию «Все нечерные объекты — невороны»; принятие первой гипотезы означает оценку большего количества объектов как черных, в то время как принятие второй гипотезы подразумевает оценку большего количества объектов как неворонов. Соответственно, аргумент гласит, что первый требует в качестве доказательства ворон, которые оказываются черными, а второй требует нечерных вещей, которые оказываются не-воронами. ^[35]

Ряд авторов утверждали, что предложения формы «Все есть » предполагают, что существуют объекты, которые есть . ^[36] Этот анализ был применен к парадоксу ворона: ^[37]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

... : "Все вороны черные" и : "Все нечерные вещи являются неворонами" не являются строго эквивалентными ... из-за их различных экзистенциальных предпосылок. Более того, хотя и описывают одну и ту же закономерность – несуществование нечерных воронов – они имеют разные логические формы. Две гипотезы имеют разный смысл и включают разные процедуры для проверки закономерности, которую они описывают.${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Модифицированная логика может учитывать экзистенциальные предпосылки, используя пресуппозиционный оператор '*'. Например,

$${\displaystyle \forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx}$$

может означать «Все вороны черные», указывая при этом, что в этом примере предполагается существование именно ворон, а не нечерных объектов.

... логическая форма каждой гипотезы отличает ее в отношении рекомендуемого типа подтверждающих доказательств: возможно истинные случаи подстановки каждой гипотезы относятся к разным типам объектов. Тот факт, что две гипотезы включают разные виды процедур проверки, выражается на формальном языке путем добавления оператора '*' к разным предикатам. Таким образом, пресуппозиционный оператор также служит оператором релевантности. Он добавляется к предикату 'является вороном ' в , потому что объекты, релевантные для процедуры проверки, включенной в "Все вороны черные", включают только воронов; он добавляется к предикату ' является нечерным' в , потому что объекты, релевантные для процедуры проверки, включенной в "Все нечерные вещи являются неворонами", включают только нечерные вещи. ... Используя термины Фреге : всякий раз, когда их предпосылки верны, две гипотезы имеют один и тот же референт (истинностное значение), но разные смыслы ; то есть они выражают два разных способа определения этого истинностного значения. ^[37]${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{2}}$

• Ассоциативное заблуждение
• Байесовская эпистемология
• Теория черного лебедя
• Список парадоксов

• Чанг, Хасок ; Фишер, Грант (2011). «Чему на самом деле учат нас вороны: внутренняя контекстуальность доказательств». В Dawid, Philip; Twining, William L.; Vasilaki, Mimi (ред.). Доказательства, выводы и расследования . Труды Британской академии. Том 171. Оксфорд; Нью-Йорк: Oxford University Press. doi : 10.5871/bacad/9780197264843.003.0013. ISBN 9780197264843. OCLC  709682874.
• Франчески, Пол (2011-02-04). "Аргумент о конце света и проблема Гемпеля". paulfranceschi.com . Архивировано из оригинала 2020-05-19 . Получено 2020-04-27 .Английский перевод статьи, первоначально опубликованной на французском языке под названием: Franceschi, Paul (март 1999 г.). «Комментарий Урна де Картера и Лесли разный в клетке де Хемпель». Канадский философский журнал . 29 (1): 139–156 . doi : 10.1080/00455091.1999.10717508. JSTOR  40232048. S2CID  170342519.
• Hempel, Carl G. (декабрь 1943 г.). «Чисто синтаксическое определение подтверждения» (PDF) . Journal of Symbolic Logic . 8 (4): 122– 143. doi :10.2307/2271053. JSTOR  2271053. S2CID  45559850. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
• Hempel, Carl G. (1966). «Исследования по логике подтверждения». В Foster, Marguerite H.; Martin, Michael (ред.). Вероятность, подтверждение и простота: материалы по философии индуктивной логики . Нью-Йорк: Odyssey Press. стр.  145–183 . OCLC  284885.
• Уайтли, CH (апрель 1945 г.). «Парадоксы подтверждения Гемпеля». Mind . 54 (214): 156– 158. doi :10.1093/mind/liv.214.156. JSTOR  2250951.