Лемма Расиовой–Сикорского

Математическая лемма

В аксиоматической теории множеств лемма Расиовой –Сикорского, названная в честь Елены Расиовой и Романа Сикорского, является одним из наиболее фундаментальных фактов, используемых в технике форсинга . В области форсинга подмножество E частично упорядоченного множества ( P , ≤) называется плотным в P , если для любого p ∈ P существует e ∈ E с e ≤ p . Если D — множество плотных подмножеств P , то фильтр F в P называется D - generic , если

F ∩ E ≠ ∅ для всех E ∈ D .

Теперь мы можем сформулировать лемму Расиовой–Сикорского :

Пусть ( P , ≤) — частично упорядоченное множество и p ∈ P. Если D — счетное множество плотных подмножеств P , то существует D -генерический фильтр F в P, такой что p ∈ F.

Доказательство леммы Расиовой–Сикорского

Пусть задано p ∈ P. Так как D счетно, то D = { D _i | i ∈ N }, т. е. можно перечислить плотные подмножества P как D ₁ , D ₂ , ... и, по плотности, существует p ₁ ≤ p с p ₁ ∈ D ₁ . Итерируя это, получаем ... ≤ p ₂ ≤ p ₁ ≤ p с p _i ∈ D _i . Тогда G = { q ∈ P | ∃ i . q ≥ p _i } является D -генерическим фильтром.

Лемму Расиовой–Сикорского можно рассматривать как эквивалент более слабой формы аксиомы Мартина . Более конкретно, она эквивалентна MA(ℵ ₀ ) и аксиоме счетного выбора . ^[1]

Примеры

Для ( P , ≤) = (Func( X , Y ), ⊇) частично упорядоченное множество частичных функций из X в Y , упорядоченных в обратном порядке по включению, определяет D _x = { s ∈ P | x ∈ dom( s ) }. Пусть D = { D _x | x ∈ X }. Если X счетно, лемма Расиовы–Сикорского дает D -генерический фильтр F и, таким образом, функцию F : X → Y .
Если придерживаться обозначений, используемых при работе с D - универсальными фильтрами , { H ∪ G ₀ | P _ij P _t } образует H - универсальный фильтр .
Если D несчетно, но его мощность строго меньше 2 ^{ℵ ₀} и посет имеет счетное цепное условие , мы можем вместо этого использовать аксиому Мартина .

Ссылки

^ Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Последствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–18. ISBN 978-0-8218-0977-8.

Ciesielski, Krzysztof (1997). Теория множеств для практикующего математика . London Mathematical Society Student Texts. Vol. 39. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-59441-3. Збл 0938.03067.
Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Исследования по логике и основаниям математики. Том 102. Северная Голландия. ISBN 0-444-85401-0. Збл 0443.03021.

Внешние ссылки

Статья Тимоти Чоу «Руководство по форсингу для начинающих» является хорошим введением в концепции и идеи, лежащие в основе форсинга.

[1] Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Последствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–18. ISBN 978-0-8218-0977-8.