Скобка Ранкина–Коэна

В математике скобка Ранкина–Коэна двух модулярных форм — это еще одна модулярная форма, обобщающая произведение двух модулярных форм. Ранкин  (1956, 1957) дал некоторые общие условия для многочленов в производных модулярных форм, чтобы быть модулярными формами, а Коэн  (1975) нашел явные примеры таких многочленов, которые дают скобки Ранкина–Коэна. Они были названы Загиром (1994), который ввел алгебры Ранкина–Коэна как абстрактную установку для скобок Ранкина–Коэна.

Если и являются модулярными формами веса k и h соответственно, то их n- я скобка Ранкина–Коэна [ f , g ] _n задается выражением ${\displaystyle f(\тау)}$${\displaystyle g(\тау)}$

${\displaystyle [f,g]_{n}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{r+s=n}(-1)^{r} {\binom {k+n-1}{s}}{\binom {h+n-1}{r}}{\frac {\mathrm {d} ^{r}f}{\mathrm {d} \ тау ^{r}}}{\frac {\mathrm {d} ^{s}g}{\mathrm {d} \tau ^{s}}}\ .}$

Это модульная форма веса  k  +  h  + 2 n . Обратите внимание, что фактор включен так, что коэффициенты q-разложения являются рациональными, если коэффициенты и являются. и являются стандартными производными , в отличие от производной по квадрату нома , которая иногда также используется.${\displaystyle (2\пи i)^{n}}$${\displaystyle [f,g]_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle г}$${\displaystyle d^{r}f/d\tau ^{r}}$${\displaystyle d^{s}г/d\tau ^{s}}$

Таинственную формулу для скобки Ранкина–Коэна можно объяснить в терминах теории представлений . Модулярные формы можно рассматривать как векторы наименьшего веса для дискретных серий представлений SL ₂ ( R ) в пространстве функций на SL ₂ ( R )/SL ₂ ( Z ). Тензорное произведение двух представлений наименьшего веса, соответствующих модулярным формам f и g, распадается как прямая сумма представлений наименьшего веса, индексированных неотрицательными целыми числами n , и короткий расчет показывает, что соответствующие векторы наименьшего веса являются скобками Ранкина–Коэна [ f , g ] _n .

Первая скобка Ранкина–Коэна — это скобка Ли при рассмотрении кольца модулярных форм как алгебры Ли .

• Коэн, Анри (1975), «Суммы, включающие значения в отрицательных целых числах L-функций квадратичных характеров», Math. Ann. , 217 (3): 271–285, doi :10.1007/BF01436180, MR  0382192, Zbl  0311.10030
• Ранкин, РА (1956), «Построение автоморфных форм из производных заданной формы», J. Indian Math. Soc. , New Series, 20 : 103–116, MR  0082563, Zbl  0072.08601
• Ранкин, РА (1957), «Построение автоморфных форм из производных заданных форм», Michigan Math. J. , 4 : 181–186, doi : 10.1307/mmj/1028989013 , MR  0092870
• Загир, Дон (1994), «Модулярные формы и дифференциальные операторы», Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. , мемориальный выпуск KG Ramanathan, 104 (1): 57–75, doi : 10.1007/BF02830874 , MR  1280058, Zbl  0806.11022