Критерий диапазона

В квантовой механике , в частности квантовой информации , критерий Ранж является необходимым условием, которому должно удовлетворять состояние, чтобы быть разделимым . Другими словами, это критерий разделимости .

Рассмотрим квантово-механическую систему, состоящую из n подсистем. Пространство состояний H такой системы является тензорным произведением тензоров подсистем, т.е. .${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$

Для простоты мы будем предполагать, что все соответствующие пространства состояний являются конечномерными.

Критерий звучит следующим образом: если ρ является разделимым смешанным состоянием, действующим на H , то диапазон ρ охватывается набором векторов-произведений.

В общем случае, если матрица M имеет вид , область действия M , Ran(M) , содержится в линейной оболочке . С другой стороны, мы также можем показать, что лежит в Ran(M) , для всех i . Предположим без потери общности i = 1 . Мы можем записать , где T эрмитово и положительно полуопределено. Есть две возможности:${\displaystyle M=\sum _{i}v_{i}v_{i}^{*}}$${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle M=v_{1}v_{1}^{*}+T}$

1) span Ker(T) . Очевидно, в этом случае Ran(M) .${\displaystyle \{v_{1}\}\subset }$${\displaystyle v_{1}\in }$

2) Обратите внимание, что 1) верно тогда и только тогда, когда Ker(T) span , где обозначает ортогональное дополнение. По эрмитовости T это то же самое, что и Ran(T) span . Так что если 1) не выполняется, пересечение Ran(T) span непусто, т.е. существует некоторое комплексное число α такое, что . Так что ${\displaystyle \;^{\perp }\subset }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$${\displaystyle \perp}$${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$ ${\displaystyle \cap}$ ${\displaystyle \{v_{1}\}}$${\displaystyle \;Tw=\alpha v_{1}}$

${\displaystyle Mw=\langle w,v_{1}\rangle v_{1}+Tw=(\langle w,v_{1}\rangle +\alpha)v_{1}.}$

Следовательно, лежит в Ran(M) .${\displaystyle v_{1}}$

Таким образом, Ran(M) совпадает с линейной оболочкой . Критерий диапазона является частным случаем этого факта.${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$

Матрица плотности ρ, действующая на H, является разделимой тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\psi _{1,i}\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}\psi _{n,i}^{*}}$

где - (ненормализованное) чистое состояние j -й подсистемы. Это также${\displaystyle \psi _{j,i}\psi _{j,i}^{*}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}(\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i})(\psi _{1,i}^{*}\ otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}^{*}).}$

Но это точно такая же форма, как M сверху, с векторным состоянием произведения, заменяющим . Тогда немедленно следует, что диапазон ρ является линейной оболочкой этих состояний произведения. Это доказывает критерий.${\displaystyle \psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}}$${\displaystyle v_{i}}$

• П. Городецкий, «Критерий разделимости и неразделимые смешанные состояния с положительной частичной транспозицией», Physics Letters A 232 , (1997).