Теорема Райкова

Теорема Райкова, названная в честь русского математика Дмитрия Абрамовича Райкова , является результатом в теории вероятностей . Хорошо известно, что если каждая из двух независимых случайных величин ξ ₁ и ξ ₂ имеет распределение Пуассона , то их сумма ξ=ξ ₁ +ξ ₂ также имеет распределение Пуассона. Оказывается, обратное утверждение также верно. ^{[1] [2] [3]}

Предположим, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона и допускает разложение в виде суммы ξ=ξ ₁ +ξ ₂ двух независимых случайных величин. Тогда распределение каждого слагаемого является смещенным распределением Пуассона.

Теорема Райкова аналогична теореме Крамера о разложении . Последний результат утверждает, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждое слагаемое также распределено нормально. Ю.В.Линником также было доказано , что свертка нормального распределения и распределения Пуассона обладает аналогичным свойством (теорема Линника  [ru] ).

Пусть — локально компактная абелева группа . Обозначим через сверточную полугруппу распределений вероятностей на , а через — вырожденное распределение, сосредоточенное в . Пусть .${\displaystyle X}$${\displaystyle М^{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{0}\in X,\lambda >0}$

Распределение Пуассона, генерируемое мерой, определяется как смещенное распределение вида${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{ 2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\ldots ).}$

Один имеет следующее

Пусть — распределение Пуассона, порожденное мерой . Предположим, что , причем . Если — либо элемент бесконечного порядка, либо имеет порядок 2, то — также распределение Пуассона. В случае, если является элементом конечного порядка , может не быть распределением Пуассона.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}*\mu _{2}}$${\displaystyle \mu _{j}\in M^{1}(X)}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mu _{j}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle n\neq 2}$${\displaystyle \mu _{j}}$