Теория квазимножеств

Теория квазимножеств — это формальная математическая теория для работы с наборами объектов, некоторые из которых могут быть неотличимы друг от друга. Теория квазимножеств в основном мотивирована предположением, что некоторые объекты, рассматриваемые в квантовой физике, неотличимы и не имеют индивидуальности.

Мотивация

Американское математическое общество спонсировало встречу 1974 года для оценки решения и последствий 23 проблем, предложенных Гильбертом в 1900 году. Результатом этой встречи стал новый список математических проблем, первая из которых, благодаря Манину (1976, стр. 36), поставила под сомнение, является ли классическая теория множеств адекватной парадигмой для рассмотрения совокупностей неразличимых элементарных частиц в квантовой механике . Он предположил, что такие совокупности не могут быть множествами в обычном смысле, и что изучение таких совокупностей требует «нового языка».

Использование термина квазимножество следует предложению в монографии да Коста 1980 года Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica (см. да Коста и Краузе 1994), в которой он исследовал возможную семантику того, что он назвал «логиками Шредингера». В этих логиках понятие тождества ограничено некоторыми объектами предметной области и мотивировано утверждением Шредингера о том, что понятие тождества не имеет смысла для элементарных частиц (Шредингер 1952). Таким образом, для того, чтобы обеспечить семантику, которая соответствует логике, да Коста предположил, что «должна быть разработана теория квазимножеств», охватывающая «стандартные множества» как частные случаи, однако да Коста не разработал эту теорию каким-либо конкретным образом. С той же целью и независимо от да Косты Далла Кьяра и ди Франча (1993) предложили теорию квазимножеств , чтобы сделать возможной семантическую обработку языка микрофизики . Первая теория квазимножеств была предложена Д. Краузе в его докторской диссертации в 1990 году (см. Krause 1992). Связанная с ней физическая теория, основанная на логике добавления фундаментальной неразличимости к равенству и неравенству, была разработана и доработана независимо в книге « Теория неразличимости» А. Ф. Паркера-Роудса . ^[1]

Краткое изложение теории

Теперь мы изложим аксиоматическую теорию Краузе (1992) , первую теорию квазимножеств; с тех пор появились другие формулировки и усовершенствования. Для обновленной статьи по этой теме см. French and Krause (2010). Краузе строится на теории множеств ZFU, состоящей из теории множеств Цермело-Френкеля с онтологией, расширенной для включения двух видов праэлементов : ${\mathfrak {Q}}$

m -атомы, предполагаемая интерпретация которых – элементарные квантовые частицы ;
М -атомы, макроскопические объекты, к которым, как предполагается, применима классическая логика .

Квазимножества ( q-множества ) — это наборы, полученные в результате применения аксиом, очень похожих на аксиомы ZFU, к базовой области, состоящей из m -атомов, M -атомов и их агрегатов. Аксиомы включают эквиваленты экстенсиональности , но в более слабой форме, называемой «слабой аксиомой экстенсиональности»; аксиомы, утверждающие существование пустого множества , неупорядоченной пары , объединения множеств и степенного множества ; аксиому разделения ; аксиому, утверждающую образ q-множества под действием q-функции, также являющегося q-множеством; эквиваленты q-множеств аксиом бесконечности , регулярности и выбора . Конечно, возможны теории Q-множеств, основанные на других теоретико-множественных рамках. ${\mathfrak {Q}}$

${\mathfrak {Q}}$ имеет примитивное понятие квазикардинала, управляемое восемью дополнительными аксиомами, интуитивно обозначающими количество объектов в коллекции. Квазикардинал квазимножества не определяется в обычном смысле (посредством ординалов ), поскольку m -атомы предполагаются (абсолютно) неразличимыми. Более того, можно определить перевод с языка ZFU на язык таким образом, чтобы в . В этой копии могут быть определены все обычные математические понятия, а 'множества' (на самом деле ' -множества') оказываются теми q-множествами, транзитивное замыкание которых не содержит m-атомов. ${\mathfrak {Q}}$ ${\mathfrak {Q}}$ ${\mathfrak {Q}}$

В могут существовать q-множества, называемые «чистыми» q-множествами, элементы которых являются всеми m-атомами, и аксиоматика дает основания утверждать, что ничто в не отличает элементы чистого q-множества друг от друга, для определенных чистых q-множеств. В рамках теории идея о том, что в x существует более одной сущности , выражается аксиомой, утверждающей, что квазикардинал мощности квазимножества x имеет квазикардинал 2 ^qc(^x⁾ , где qc( x ) — квазикардинал x (который является кардиналом, полученным в только что упомянутой «копии» ZFU). ${\mathfrak {Q}}$ ${\mathfrak {Q}}$ ${\mathfrak {Q}}$

Что именно это означает? Рассмотрим уровень 2 p атома натрия, на котором находится шесть неразличимых электронов. Тем не менее, физики рассуждают так, как будто на этом уровне на самом деле находится шесть сущностей, а не одна. Таким образом, говоря, что квазикардинальное число мощности квазимножества x равно 2 ^{qc( x )} (предположим, что qc ( x ) = 6, чтобы следовать примеру), мы не исключаем гипотезу о том, что может существовать шесть подквазимножеств x , которые являются «синглтонами», хотя мы не можем различить их. Существует или нет шесть элементов в x — это то, что не может быть приписано теорией (хотя это понятие совместимо с теорией). Если бы теория могла ответить на этот вопрос, элементы x были бы индивидуализированы и, следовательно, подсчитаны, что противоречит основному предположению о том, что их нельзя различить.

Другими словами, мы можем последовательно (в рамках аксиоматики ) рассуждать так, как будто в x есть шесть сущностей , но x следует рассматривать как совокупность, элементы которой не могут быть различены как индивиды. Используя теорию квазимножеств, мы можем выразить некоторые факты квантовой физики без введения условий симметрии (Krause et al. 1999, 2005). Как известно, для выражения неразличимости частицы считаются индивидами , скажем, путем присоединения их к координатам или адекватным функциям/векторам, таким как |ψ>. Таким образом, если в начале заданы две квантовые системы, обозначенные как |ψ ₁ ⟩ и |ψ _{2 ⟩, нам нужно рассмотреть функцию вида |ψ}₁₂ ⟩ = |ψ ₁ ⟩|ψ ₂ ⟩ ± |ψ ₂ ⟩|ψ ₁ ⟩ (за исключением некоторых констант), которая сохраняет кванты неразличимыми при перестановках ; плотность вероятности совместной системы не зависит от того, какой из них является квантом № 1, а какой — квантом № 2. (Обратите внимание, что точность требует, чтобы мы говорили о «двух» квантах, не различая их, что невозможно в обычных теориях множеств.) В мы можем обойтись без этой «идентификации» квантов ; подробности см. в работах Краузе и др. (1999, 2005) и Френча и Краузе (2006). ${\mathfrak {Q}}$ ${\mathfrak {Q}}$

Теория квазимножеств — это способ операционализации утверждения Хайнца Поста (1963) о том, что кванты следует считать неразличимыми «с самого начала».

Смотрите также

Ссылки

^ А. Ф. Паркер-Роудс , Теория неразличимости: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики , Рейдель (Springer), Дордехт (1981). ISBN 90-277-1214-X

Френч, С.; Краузе, Д. (2010). «Замечания о теории квазимножеств». Studia Logica . 95 ( 1– 2): 101– 124. doi :10.1007/s11225-010-9249-3. JSTOR 40783358.
Ньютон да Коста (1980) Ensaio sobre os Fundamentos da Logica . Сан-Паулу: Hucitec.
да Кошта, Северная Каролина ; Краузе, Д. (1994). «Логика Шрёдингера». Студия Логика . 53 (4): 533–550 . doi : 10.1007/BF01057649.
Krause, Décio; da Costa, Newton CA (весна 1997). «Интенсиональная логика Шрёдингера». Notre Dame Journal of Formal Logic . 38 (2): 179– 194. doi :10.1305/ndjfl/1039724886.
Далла Кьяра, ML ; Торальдо ди Франсия, Г. (1993). «Особи, виды и имена в физике». Ин Корси, Г.; Кьяра, MLD; Жирарди, GC (ред.). Преодоление разрыва: философия, математика, физика . Клювер. С. 261–283 . doi : 10.1007/978-94-011-2496-6_13. ISBN 978-94-011-2496-6.
Доменек, Г.; Холик, Ф. (2007). «Обсуждение числа частиц и квантовой неразличимости». Основы физики . 37 (6): 855– 878. arXiv : 0705.3417 . doi : 10.1007/s10701-007-9129-5.
Domenech, G.; Holik, F.; Krause, D. (ноябрь 2008 г.). «Q-пространства и основы квантовой механики». Foundations of Physics . 38 (11): 969–994 . arXiv : 0803.4517 . doi :10.1007/s10701-008-9246-9.
Фалькенбург, Б. (2007). Метафизика частиц: Критический отчет о субатомной реальности . Springer.
Френч, Стивен (2006). «Идентичность и индивидуальность в квантовой теории». В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (весна 2006 г.).
Френч, С.; Краузе, Д. (2006). Идентичность в физике: исторический, философский и формальный анализ. Oxford University Press. doi : 10.1093/0199278245.001.0001. ISBN 978-0-19-160395-2.
Френч, С.; Риклз, Д.П. (2003). «Понимание симметрии перестановок». В К. Брэдинге; Э. Кастеллани (ред.). Симметрии в физике: философские размышления . Cambridge University Press. стр. 212–238 .
Краузе, Децио (лето 1992 г.). «О теории квазимножеств». Notre Dame Journal of Formal Logic . 33 (3): 402– 411. doi :10.1305/ndjfl/1093634404.
Krause, D.; Sant'Anna, AS; Volkov, AG (1999). «Теория квазимножеств для бозонов и фермионов: квантовые распределения». Foundations of Physics Letters . 12 : 51–66 . arXiv : quant-ph/9803076 . doi :10.1023/A:1021678721611.
Krause, D.; Sant'Anna, AS; Sartorelli, A. (2005). «О концепции тождества в аксиомах типа Цермело-Френкеля и ее связи с квантовой статистикой». Logique et Analyse . 48 ( 189– 192): 231– 260. JSTOR 44084805.
Манин, Юрий (1976) «Проблемы современной математики: основы», в Феликсе Браудере , ред., Труды симпозиумов по чистой математике, т. XXVIII . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество .
Пост, Хайнц (10 октября 1963 г.). «Индивидуальность в физике». The Listener : 534–537 .Перепечатано в «Веданта для Востока и Запада» . 1973. С. 14–22 .
Эрвин Шредингер (1952). Наука и гуманизм . Cambridge University Press.

[1] А. Ф. Паркер-Роудс , Теория неразличимости: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики , Рейдель (Springer), Дордехт (1981). ISBN 90-277-1214-X