Гиперэллиптическая поверхность
В математике гиперэллиптическая поверхность , или биэллиптическая поверхность , — это минимальная поверхность , морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением без особых слоев. Любая такая поверхность может быть записана как фактор произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе . Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов поверхностей размерности Кодаиры 0 в классификации Энриквеса–Кодаиры .
Инварианты
Размерность Кодаиры равна 0. [ необходимо пояснение ]
Ходж Даймонд:
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 0 | 2 | 0 | ||
| 1 | 1 | |||
| 1 |
Классификация
Любая гиперэллиптическая поверхность является отношением ( E × F )/ G , где E = C /Λ и F — эллиптические кривые, а G — подгруппа F ( действующая на F переносами), которая действует на E не только переносами. Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей, как в следующей таблице.
| порядок К | Λ | Г | Действие G на E |
|---|---|---|---|
| 2 | Любой | Я /2 Я | е → − е |
| 2 | Любой | Z /2 Z ⊕ Z /2 Z | е → - е , е → е + c , - c знак равно c |
| 3 | Z ⊕ Z ω | Я /3 Я | е → ω е |
| 3 | Z ⊕ Z ω | Z /3 Z ⊕ Z /3 Z | е → ω е , е → е + c , ω c знак равно c |
| 4 | Z ⊕ Z i; | Я /4 Я | е → я е |
| 4 | Z ⊕ Z я | Z /4 Z ⊕ Z /2 Z | е → я е , е → е + с , ик = с |
| 6 | Z ⊕ Z ω | Я /6 Я | е → −ω е |
Здесь ω — примитивный кубический корень из 1, а i — примитивный корень четвертой степени из 1.
Квазигиперэллиптические поверхности
Квазигиперэллиптическая поверхность — это поверхность, канонический дивизор которой численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе отображается в эллиптическую кривую, и все ее слои рациональны с каспом . Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Черна равно нулю, а голоморфная характеристика Эйлера равна нулю. Они были классифицированы (Bombieri & Mumford 1976), которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6 K = 0) и восемь в характеристике 2 (в этом случае 6 K или 4 K равны нулю). Любая квазигиперэллиптическая поверхность является фактором ( E × F )/ G , где E — рациональная кривая с одним каспом, F — эллиптическая кривая, а G — конечная подгрупповая схема F ( действующая на F трансляциями).
Ссылки
- Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. Фолге. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, МР 2030225- стандартный справочник по компактным сложным поверхностям
- Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314, ISBN 978-0-521-49842-5
- Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе стр. III». (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232 , Bibcode : 1976InMat..35..197B, doi : 10.1007/BF01390138, ISSN 0020-9910, MR 0491720
- Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1977), «Классификация поверхностей Энрикеса в char. p. II», Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 23–42 , MR 0491719
