Квантовое стохастическое исчисление

Квантовое стохастическое исчисление является обобщением стохастического исчисления на некоммутирующие переменные. ^[1] Инструменты, предоставляемые квантовым стохастическим исчислением, очень полезны для моделирования случайной эволюции систем, подвергающихся измерению , как в квантовых траекториях. ^{[2] : 148} Так же, как основное уравнение Линдблада обеспечивает квантовое обобщение уравнения Фоккера–Планка , квантовое стохастическое исчисление позволяет выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения (QSDE), которые аналогичны классическим уравнениям Ланжевена .

В оставшейся части статьи стохастическое исчисление будет называться классическим стохастическим исчислением , чтобы четко отличать его от квантового стохастического исчисления.

Важным физическим сценарием, в котором необходимо квантовое стохастическое исчисление, является случай системы, взаимодействующей с термостатом . Во многих случаях целесообразно моделировать термостат как совокупность гармонических осцилляторов . Один тип взаимодействия между системой и термостатом можно смоделировать (после выполнения канонического преобразования) следующим гамильтонианом : ^{[3] : 42, 45}

${\displaystyle H=H_{\mathrm {sys} }(\mathbf {Z})+{\frac {1}{2}}\sum _{n}\left((p_{n}-\kappa _{ n}X)^{2}+\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)\,,}$

где — гамильтониан системы, — вектор, содержащий системные переменные, соответствующие конечному числу степеней свободы, — индекс для различных режимов термостата, — частота конкретного режима, — операторы термостата для конкретного режима, — системный оператор, и количественно определяет связь между системой и конкретным режимом термостата.${\displaystyle H_{\mathrm {sys} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle q_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \каппа _{н}}$

В этом сценарии уравнение движения для произвольного системного оператора называется квантовым уравнением Ланжевена и может быть записано как: ^{[3] : 46–47}${\displaystyle Y}$

где и обозначают коммутатор и антикоммутатор (соответственно), функция памяти определяется как:${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(t)\equiv \sum _{n}\kappa _{n}^{2}\cos(\omega _{n}t)\,,}$

а оператор шума, зависящий от времени, определяется как:${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi (t)\equiv i\sum _{n}\kappa _{n}{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{n}}{2}}}\left(-a_{n}(t_{0})e^{-i\omega _{n}(t-t_{0})}+a_{n}^{\dagger }(t_{0})e^{i\omega _{n}(t-t_{0})}\right)\,,}$

где оператор уничтожения ванны определяется как:${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {\omega _{n}q_{n}+ip_{n}}{\sqrt {2\hbar \omega _{n}}}}\,.}$

Зачастую это уравнение является более общим, чем необходимо, и для его упрощения вводятся дополнительные приближения.

Для многих целей удобно делать приближения относительно природы тепловой ванны, чтобы достичь формализма белого шума . В таком случае взаимодействие может быть смоделировано гамильтонианом, где: ^{[4] : 3762}${\displaystyle H=H_{\mathrm {sys} }+H_{B}+H_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle H_{B}=\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\omega b^{\dagger }(\omega )b(\omega )\,,}$

и

${\displaystyle H_{\mathrm {int} }=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\kappa (\omega )\left(b^{\dagger }(\omega )c-c^{\dagger }b(\omega )\right)\,,}$

где — операторы уничтожения для ванны с коммутационным соотношением , — оператор в системе, количественно определяет силу связи мод ванны с системой и описывает свободную эволюцию системы. ^{[3] : 148} Эта модель использует приближение вращающейся волны и расширяет нижний предел до для того, чтобы допустить математически простой формализм белого шума. Силы связи также обычно упрощаются до константы в том, что иногда называют первым марковским приближением: ^{[4] : 3763}${\displaystyle b(\omega )}$${\displaystyle [b(\omega ),b^{\dagger }(\omega ^{\prime })]=\delta (\omega -\omega ^{\prime })}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \kappa (\omega )}$${\displaystyle H_{\mathrm {sys} }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle \kappa (\omega )={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\,.}$

Системы, соединенные с набором гармонических осцилляторов, можно рассматривать как приводимые в действие шумовым входом и излучающие шумовой выход. ^{[3] : 43} Оператор входного шума в данный момент времени определяется как: ^{[3] : 150  [4] : 3763}${\displaystyle t}$

${\displaystyle b_{\mathrm {in} }(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{-i\omega (t-t_{0})}b_{0}(\omega )\,,}$

где , поскольку этот оператор выражен в картине Гейзенберга . Удовлетворение коммутационного соотношения позволяет модели иметь строгое соответствие с марковским основным уравнением. ^{[2] : 142}${\displaystyle b_{0}(\omega )=\left.b(\omega )\right\vert _{t=t_{0}}}$${\displaystyle [b_{\mathrm {in} }(t),b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t^{\prime })]=\delta (t-t^{\prime })}$

В описанной выше ситуации с белым шумом квантовое уравнение Ланжевена для произвольного системного оператора принимает более простую форму: ^{[4] : 3763}${\displaystyle a}$

Для случая, наиболее близко соответствующего классическому белому шуму, входные данные системы описываются оператором плотности, дающим следующее математическое ожидание : ^{[3] : 154}

${\displaystyle \langle b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t)b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\rangle _{\rho _{\mathrm {in} }}=N\delta (t-t^{\prime })\,.}$

WN2

Чтобы определить квантовую стохастическую интеграцию, важно определить квантовый винеровский процесс : ^{[3] : 155  [4] : 3765}

${\displaystyle B(t,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\mathrm {d} t^{\prime }\,.}$

Это определение дает квантовому винеровскому процессу коммутационное соотношение . Свойство операторов аннигиляции ванны в ( WN2 ) подразумевает, что квантовый винеровский процесс имеет ожидаемое значение:${\displaystyle [B(t,t_{0}),B^{\dagger }(t,t_{0})]=t-t_{0}}$

${\displaystyle \langle B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})\rangle _{\rho (t,t_{0})}=N(t-t_{0})\,.}$

Квантовые винеровские процессы также определяются таким образом, что их квазивероятностные распределения являются гауссовыми, путем определения оператора плотности:

${\displaystyle \rho (t,t_{0})=(1-e^{-\kappa })\exp \left[-{\frac {\kappa B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})}{t-t_{0}}}\right]\,,}$

где . ^{[4] : 3765}${\displaystyle N=1/(e^{\kappa }-1)}$

Стохастическую эволюцию системных операторов можно также определить в терминах стохастической интеграции заданных уравнений.

Квантовый интеграл Ито системного оператора определяется по формуле: ^{[3] : 155}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(t_{i})\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

где жирный шрифт ( I ) перед интегралом обозначает Itô. Одной из особенностей определения интеграла таким образом является то, что приращения и коммутируют с системным оператором.${\displaystyle \mathrm {d} B}$${\displaystyle \mathrm {d} B^{\dagger }}$

Для того чтобы определить Itô QSDE , необходимо знать кое-что о статистике ванны. ^{[3] : 159} В контексте формализма белого шума, описанного ранее, Itô QSDE можно определить как: ^{[3] : 156}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t+\gamma \left((N+1){\mathcal {D}}[c^{\dagger }]a+N{\mathcal {D}}[c]a\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,,}$

где уравнение было упрощено с использованием супероператора Линдблада : ^{[2] : 105}

${\displaystyle {\mathcal {D}}[A]a\equiv AaA^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(A^{\dagger }Aa+aA^{\dagger }A\right)\,.}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определяющее системный оператор как квантовый интеграл Ито правой части и эквивалентно уравнению Ланжевена ( WN1 ). ^{[4] : 3765}${\displaystyle a}$

Квантовый интеграл Стратоновича системного оператора определяется по формуле: ^{[3] : 157}${\displaystyle g(t)}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g(t_{i})+g(t_{i+1})}{2}}\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,}$

где жирный шрифт ( S ) перед интегралом обозначает Стратоновича. В отличие от формулировки Ито, приращения в интеграле Стратоновича не коммутируют с системным оператором, и можно показать, что: ^[3]

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })-(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} B(t^{\prime })g(t^{\prime })={\frac {\sqrt {\gamma }}{2}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

QSDE Стратоновича можно определить как: ^{[3] : 158}

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t-{\frac {\gamma }{2}}\left([a,c^{\dagger }]c-c^{\dagger }[a,c]\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,.}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определяющее системный оператор как квантовый интеграл Стратоновича правой части и имеет ту же форму, что и уравнение Ланжевена ( WN1 ). ^{[4] : 3766–3767}${\displaystyle a}$

Два определения квантовых стохастических интегралов соотносятся друг с другом следующим образом, предполагая, что ванна с определена, как и ранее: ^[3]${\displaystyle N}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\gamma }}N\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.}$

Как и в случае классического стохастического исчисления, соответствующее правило произведения может быть выведено для интегрирования Ито и Стратоновича соответственно: ^{[3] : 156, 159}

${\displaystyle (\mathbf {I} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+b\,\mathrm {d} a+\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b\,,}$

${\displaystyle (\mathbf {S} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+\mathrm {d} a\,b\,.}$

Как и в классическом стохастическом исчислении, форма Стратоновича сохраняет обычное исчисление (которое в данном случае является некоммутирующим). Особенностью квантового обобщения является необходимость определения как интегрирования Ито, так и интегрирования Стратоновича, чтобы доказать, что форма Стратоновича сохраняет правила некоммутирующего исчисления. ^{[3] : 155}

Квантовые траектории можно в общем случае рассматривать как путь через гильбертово пространство , который состояние квантовой системы проходит с течением времени. В стохастической обстановке эти траектории часто обусловлены результатами измерений. Безусловная марковская эволюция квантовой системы (усредненная по всем возможным результатам измерений) задается уравнением Линдблада. Чтобы описать обусловленную эволюцию в этих случаях, необходимо распутать уравнение Линдблада, выбрав последовательное QSDE . В случае, когда обусловленное состояние системы всегда чистое , распутывание может быть в форме стохастического уравнения Шредингера (SSE). Если состояние может стать смешанным, то необходимо использовать стохастическое главное уравнение (SME). ^{[2] : 148}

Рассмотрим следующее основное уравнение Линдблада для системы, взаимодействующей с вакуумной ванной: ^{[2] : 145}

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {D}}[c]\rho -i[H_{\mathrm {sys} },\rho ]\,.}$

Это описывает эволюцию состояния системы, усредненную по результатам любого конкретного измерения, которое может быть сделано на ванне. Следующий SME описывает эволюцию системы, обусловленную результатами непрерывного измерения подсчета фотонов, выполненного на ванне:

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{I}(t)=\left(\mathrm {d} N(t){\mathcal {G}}[c]-\mathrm {d} t{\mathcal {H}}[iH_{\mathrm {sys} }+{\frac {1}{2}}c^{\dagger }c]\right)\rho _{I}(t)\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}[r]\rho &\equiv &{\frac {r\rho r^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [r\rho r^{\dagger }]}}-\rho \\{\mathcal {H}}[r]\rho &\equiv &r\rho +\rho r^{\dagger }-\operatorname {Tr} [r\rho +\rho r^{\dagger }]\rho \end{array}}}$

являются нелинейными супероператорами и представляют собой фотоотсчет, показывающий, сколько фотонов было обнаружено в данный момент времени , и дающий следующую вероятность скачка: ^{[2] : 152, 155}${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} N(t)]=\mathrm {d} t\operatorname {Tr} [c^{\dagger }c\rho _{I}(t)]\,,}$

где обозначает ожидаемое значение. Другой тип измерения, который может быть выполнен на ванне, — это гомодинное детектирование , которое приводит к квантовым траекториям, заданным следующим SME :${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \mathrm {d} \rho _{J}(t)=-i[H_{\mathrm {sys} },\rho _{J}(t)]\mathrm {d} t+\mathrm {d} t{\mathcal {D}}[c]\rho _{J}(t)+\mathrm {d} W(t){\mathcal {H}}[c]\rho _{J}(t)\,,}$

где — приращение Винера, удовлетворяющее: ^{[2] : 161}${\displaystyle \mathrm {d} W(t)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} W(t)^{2}&=&\mathrm {d} t\\\operatorname {E} [\mathrm {d} W(t)]&=&0\,.\end{array}}}$

Хотя эти два МСП выглядят совершенно по-разному, расчет их ожидаемой эволюции показывает, что они оба на самом деле являются результатом решения одного и того же основного уравнения Линдлада:

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{I}(t)]=\operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{J}(t)]={\dot {\rho }}\mathrm {d} t\,.}$

Одним из важных применений квантовых траекторий является сокращение вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования основного уравнения. Для гильбертова пространства размерности d количество действительных чисел, необходимых для хранения матрицы плотности, имеет порядок d ² , а время, необходимое для вычисления эволюции основного уравнения, имеет порядок d ⁴ . С другой стороны, для хранения вектора состояния для SSE требуется только количество действительных чисел порядка d , а время, необходимое для вычисления эволюции траектории, имеет порядок d ² . Затем эволюцию основного уравнения можно аппроксимировать путем усреднения по многим отдельным траекториям, смоделированным с использованием SSE , метода, иногда называемого подходом волновой функции Монте-Карло . ^[5] Хотя количество вычисляемых траекторий n должно быть очень большим для точной аппроксимации основного уравнения, хорошие результаты могут быть получены для количества траекторий, намного меньшего, чем d ² . Этот метод не только обеспечивает более быстрое время вычислений, но и позволяет моделировать основные уравнения на машинах, у которых недостаточно памяти для хранения всей матрицы плотности. ^{[2] : 153}