Квантовые финансы
Подотрасль эконофизики, которая применяет квантовую теорию к финансам

Квантовые финансы — это междисциплинарная область исследований, применяющая теории и методы, разработанные квантовыми физиками и экономистами, для решения проблем в финансах . Это раздел эконофизики . Квантовые вычисления в настоящее время используются для ряда финансовых приложений, включая обнаружение мошенничества, прогнозирование цен на акции, оптимизацию портфеля и рекомендации по продуктам.

Квантовая непрерывная модель

Большинство исследований квантового опционного ценообразования обычно фокусируются на квантовании классического уравнения Блэка-Шоулза-Мертона с точки зрения непрерывных уравнений, таких как уравнение Шредингера . Эммануэль Хейвен основывается на работе Цзэцяня Чена и других, [1] но рассматривает рынок с точки зрения уравнения Шредингера . [2] Ключевое сообщение в работе Хейвена заключается в том, что уравнение Блэка-Шоулза-Мертона на самом деле является частным случаем уравнения Шредингера, где рынки предполагаются эффективными. Основанное на Шредингере уравнение, которое выводит Хейвен, имеет параметр ħ (не путать с комплексно сопряженным h ), который представляет собой объем арбитража, присутствующего на рынке в результате различных источников, включая не бесконечно быстрые изменения цен, не бесконечно быстрое распространение информации и неравное богатство среди трейдеров. Хейвен утверждает, что, правильно установив это значение, можно получить более точную цену опциона, поскольку в действительности рынки не являются по-настоящему эффективными.

Это одна из причин, по которой возможно, что квантовая модель ценообразования опционов может быть более точной, чем классическая. Белал Э. Бааки опубликовал множество статей по квантовым финансам и даже написал книгу, которая объединяет многие из них. [3] [4] Основой исследований Бааки и других, таких как Матац, являются траекторные интегралы Ричарда Фейнмана . [ 5]

Baaquie применяет интегралы по траектории к нескольким экзотическим опционам и представляет аналитические результаты, сравнивая свои результаты с результатами уравнения Блэка-Шоулза-Мертона, показывая, что они очень похожи. Edward Piotrowski et al. используют другой подход, изменяя предположение Блэка-Шоулза-Мертона относительно поведения акций, лежащих в основе опциона. [6] Вместо того, чтобы предполагать, что он следует процессу Винера-Башелье , [7] они предполагают, что он следует процессу Орнштейна-Уленбека . [8] С этим новым предположением они выводят квантовую финансовую модель, а также европейскую формулу опциона колл.

Другие модели, такие как Халл–Уайт и Кокс–Ингерсолл–Росс, успешно использовали тот же подход в классических условиях с процентными деривативами. [9] [10] Андрей Хренников основывается на работе Хейвена и других и еще больше укрепляет идею о том, что предположение об эффективности рынка, сделанное уравнением Блэка–Шоулза–Мертона, может быть неуместным. [11] Чтобы поддержать эту идею, Хренников основывается на структуре контекстуальных вероятностей, используя агентов как способ преодоления критики применения квантовой теории к финансам. Луиджи Аккарди и Андреас Букас снова квантуют уравнение Блэка–Шоулза–Мертона, но в этом случае они также считают, что базовая акция имеет как броуновские, так и пуассоновские процессы. [12]

Квантовая биномиальная модель

В 2001 году Чэнь опубликовал статью [1] , в которой он представил квантовую биномиальную модель ценообразования опционов или просто сокращенно квантовую биномиальную модель. Метафорически говоря, квантовая биномиальная модель ценообразования опционов Чэня (далее именуемая квантовой биномиальной моделью) является для существующих квантовых финансовых моделей тем же, чем классическая биномиальная модель ценообразования опционов Кокса–Росса–Рубинштейна была для модели Блэка–Шоулза–Мертона: дискретизированная и более простая версия того же результата. Эти упрощения делают соответствующие теории не только более простыми для анализа, но и для реализации на компьютере.

Многошаговая квантовая биномиальная модель

В многошаговой модели формула квантового ценообразования выглядит следующим образом:

С 0 Н = т г [ ( ⨂ дж = 1 Н ρ дж ) [ С Н − К ] + ] {\displaystyle C_{0}^{N}=\mathrm {tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{+}]} ,

что эквивалентно формуле биномиальной модели ценообразования опционов Кокса–Росса–Рубинштейна :

С 0 Н = ( 1 + г ) − Н ∑ н = 0 Н Н ! н ! ( Н − н ) ! д н ( 1 − д ) Н − н [ С 0 ( 1 + б ) н ( 1 + а ) Н − н − К ] + {\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}{\frac {N!}{n!(Nn)!}}q^{n}{(1-q)}^{Nn}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{+}} .

Это показывает, что если предположить, что акции ведут себя в соответствии со статистикой Максвелла–Больцмана , то квантовая биномиальная модель действительно сводится к классической биномиальной модели.

Квантовая волатильность выглядит следующим образом по Кейту Мейеру: [13]

σ = вн ⁡ ( 1 + х 0 + х 1 2 + х 2 2 + х 3 2 ) 1 / т {\displaystyle \sigma ={\frac {\ln {(1+x_{0}+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}} .

Предположение Бозе-Эйнштейна

Статистику Максвелла–Больцмана можно заменить квантовой статистикой Бозе–Эйнштейна, что приведет к следующей формуле цены опциона:

С 0 Н = ( 1 + г ) − Н ∑ н = 0 Н ( д н ( 1 − д ) Н − н ∑ к = 0 Н д к ( 1 − д ) Н − к ) [ С 0 ( 1 + б ) н ( 1 + а ) Н − н − К ] + {\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{Nn}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q)}^{Nk}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{Nn}-K]}^{+}} .

Уравнение Бозе-Эйнштейна даст цены опционов, которые будут отличаться от тех, которые дает формула ценообразования опционов Кокса-Росса-Рубинштейна в определенных обстоятельствах. Это происходит потому, что акция рассматривается как квантовая бозонная частица, а не как классическая частица.

Квантовый алгоритм ценообразования деривативов

Патрик Ребентрост в 2018 году показал, что существует алгоритм для квантовых компьютеров, способных оценивать финансовые деривативы с преимуществом в квадратный корень по сравнению с классическими методами. [14] Эта разработка знаменует собой переход от использования квантовой механики для понимания функциональных финансов к использованию квантовых систем — квантовых компьютеров — для выполнения этих вычислений.

В 2020 году Дэвид Оррелл предложил модель ценообразования опционов, основанную на квантовом блуждании, которое может работать на фотонном устройстве. [15] [16] [17]

Критика

В своем обзоре работы Baaquie Ариоли и Валенте отмечают, что, в отличие от уравнения Шредингера, уравнение Блэка-Шоулза-Мертона не использует мнимых чисел. Поскольку квантовые характеристики в физике, такие как суперпозиция и запутанность, являются результатом мнимых чисел, численный успех Baaquie должен быть результатом эффектов, отличных от квантовых. [18] : 668  Риклз критикует работу Baaquie с экономической точки зрения: эмпирические экономические данные не случайны, поэтому им не нужно объяснение с точки зрения квантовой случайности. [19] : 969 

Ссылки

  1. ^ ab Zeqian Chen (2004). "Квантовая теория для биномиальной модели в теории финансов". Журнал системной науки и сложности . arXiv : quant-ph/0112156 . Bibcode : 2001quant.ph.12156C.
  2. ^ Haven, Emmanuel (2002). «Обсуждение внедрения модели ценообразования опционов Блэка–Шоулза в квантовую физику». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 304 ( 3–4 ): 507–524 . Bibcode : 2002PhyA..304..507H. doi : 10.1016/S0378-4371(01)00568-4.
  3. ^ Baaquie, Belal E.; Coriano, Claudio; Srikant, Marakani (2002). "Квантовая механика, интегралы по траекториям и ценообразование опционов: снижение сложности финансов". Нелинейная физика – теория и эксперимент II . стр. 8191. arXiv : cond-mat/0208191 . Bibcode : 2003npte.conf..333B. doi : 10.1142/9789812704467_0046. ISBN 978-981-238-270-2. S2CID  14095958.
  4. ^ Baaquie, Belal (2004). Квантовые финансы: интегралы по траекториям и гамильтонианы для опционов и процентных ставок . Cambridge University Press. стр. 332. ISBN 978-0-521-84045-3.
  5. ^ Матац, Эндрю (2002). «Оценивание опционов, зависящее от пути: метод частичного усреднения интеграла пути». Журнал вычислительных финансов . 6 (2): 79– 103. arXiv : cond-mat/0005319 . doi : 10.21314/JCF.2002.108 . Получено 20 января 2025 г.
  6. ^ Пиотровски, Эдвард В.; Шредер, Малгожата; Замбржицкая, Анна (2006). «Квантовое расширение европейского ценообразования опционов на основе процесса Орнштейна-Уленбека». Physica A. 368 ( 1): 176– 182. arXiv : quant-ph/0510121 . Bibcode : 2006PhyA..368..176P. doi : 10.1016/j.physa.2005.12.021. S2CID  14209173.
  7. ^ Халл, Джон (2006). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson/Prentice Hall. ISBN 978-0-13-149908-9.
  8. ^ Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). «О теории броуновского движения». Phys. Rev. 36 ( 5): 823– 841. Bibcode :1930PhRv...36..823U. doi :10.1103/PhysRev.36.823.
  9. ^ «Ценообразование опционов на верхние и нижние пределы процентных ставок с использованием модели Халла–Уайта». Advance Strategies in Risk Management . 1990.
  10. ^ «Теория временной структуры процентных ставок». Physica A. 1985.
  11. ^ Хренников, Андрей (2007). «Классическая и квантовая случайность и финансовый рынок». arXiv : 0704.2865 [q-fin.ST].
  12. ^ Аккарди, Луиджи; Букас, Андреас (2007). «Квантовое уравнение Блэка-Шоулза». arXiv : 0706.1300 [q-fin.PR].
  13. ^ Кит Мейер (2009). Расширение и моделирование квантовой биномиальной модели ценообразования опционов. Университет Манитобы.
  14. ^ Ребентрост, Патрик; Гапт, Браджеш; Бромли, Томас Р. (30 апреля 2018 г.). «Квантовые вычислительные финансы: ценообразование финансовых деривативов методом Монте-Карло». Physical Review A. 98 ( 2): 022321. arXiv : 1805.00109 . Bibcode : 2018PhRvA..98b2321R. doi : 10.1103/PhysRevA.98.022321. S2CID  73628234.
  15. ^ Оррелл, Дэвид (2020). Квантовая экономика и финансы: введение в прикладную математику . Нью-Йорк: Panda Ohana. ISBN 978-1916081611.
  16. ^ Оррелл, Дэвид (2021). «Квантовая модель блуждания финансовых опционов». Wilmott . 2021 (112): 62– 69. doi :10.1002/wilm.10918. S2CID  233850811.
  17. ^ «Рынки Шредингера». The Economist . 6 ноября 2021 г.
  18. ^ Ариоли, Джанни; Валенте, Джованни (октябрь 2021 г.). «Что на самом деле квантовое в квантовой эконофизике?». Философия науки . 88 (4): 665– 685. doi :10.1086/713921. ISSN  0031-8248.
  19. ^ Риклз, Дин (декабрь 2007 г.). «Эконофизика для философов». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 38 (4): 948– 978. Bibcode :2007SHPMP..38..948R. doi :10.1016/j.shpsb.2007.01.003.

Дальнейшее чтение

  • Белал Э. Бааки, Квантовые финансы: интегралы по траекториям и гамильтонианы для опционов и процентных ставок, Cambridge University Press (Кембридж, Великобритания, 2004)
  • Белал Э. Бааки, Математические методы и квантовая математика для экономики и финансов, Springer (Сингапур, 2020)
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quantum_finance&oldid=1270768278"