Метод квантованных систем состояний

Методы квантованных систем состояний ( QSS ) представляют собой семейство решателей численного интегрирования, основанных на идее квантования состояний, двойственной традиционной идее дискретизации времени. В отличие от традиционных методов численного решения , которые подходят к проблеме путем дискретизации времени и решения для следующего (действительно-значного) состояния на каждом последующем временном шаге, методы QSS сохраняют время как непрерывную сущность и вместо этого квантуют состояние системы, вместо решения для времени , в которое состояние отклоняется от своего квантованного значения на квант .

Они также могут иметь много преимуществ по сравнению с классическими алгоритмами. ^[1] Они по своей сути позволяют моделировать разрывы в системе из-за своей дискретно-событийной природы и асинхронной природы. Они также позволяют явно находить корни и обнаруживать переходы через ноль с помощью явных алгоритмов, избегая необходимости итерации — факт, который особенно важен в случае жестких систем, где традиционные методы пошагового выполнения по времени требуют больших вычислительных затрат из-за требования неявного решения для следующего состояния системы. Наконец, методы QSS удовлетворяют замечательной глобальной устойчивости и границам ошибок, описанным ниже, которым не удовлетворяют классические методы решения.

По своей природе методы QSS, следовательно, аккуратно моделируются формализмом DEVS , дискретно-событийной моделью вычислений , в отличие от традиционных методов, которые формируют дискретно-временные модели непрерывно-временной системы. Поэтому они были реализованы в [PowerDEVS] , движке моделирования для таких дискретно-событийных систем.

В 2001 году Эрнесто Кофман доказал ^[2] замечательное свойство метода моделирования квантованных систем состояний: а именно, что когда этот метод используется для решения стабильной линейной системы, инвариантной во времени (LTI) , глобальная ошибка ограничена константой, пропорциональной кванту, но (что принципиально) независимой от продолжительности моделирования. Более конкретно, для стабильной многомерной системы LTI с матрицей перехода состояний и входной матрицей в [CK06] было показано, что вектор абсолютной ошибки ограничен сверху${\displaystyle А}$ ${\displaystyle Б}$${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$

${\displaystyle \left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}}$

где — вектор квантов состояния, — вектор с квантами, принятыми во входных сигналах, — собственное разложение или жорданова каноническая форма , а обозначает поэлементный оператор абсолютного значения (не путать с определителем или нормой ).${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$

Стоит отметить, что эта замечательная граница погрешности имеет свою цену: глобальная ошибка для стабильной системы LTI также, в некотором смысле, ограничена снизу самим квантом, по крайней мере для метода QSS1 первого порядка. Это происходит потому, что, если только приближение не совпадет точно с правильным значением (событие, которое почти наверняка не произойдет), оно просто продолжит колебаться вокруг равновесия, поскольку состояние всегда (по определению) гарантированно изменится ровно на один квант за пределами равновесия. Чтобы избежать этого условия, потребуется найти надежный метод для динамического понижения кванта способом, аналогичным методам адаптивного размера шага в традиционных алгоритмах моделирования дискретного времени.

Пусть задача с начальными данными определена следующим образом.

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

Метод QSS первого порядка, известный как QSS1, аппроксимирует вышеуказанную систему следующим образом:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.}$

где и связаны гистерезисной функцией квантования${\displaystyle x}$${\displaystyle д}$

${\displaystyle q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if}}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{inotherwise}}\end{cases}}}$

где называется квантом . Обратите внимание, что эта функция квантования является гистерезисной , поскольку она имеет память : ее выход не только является функцией текущего состояния , но и зависит от ее старого значения, .${\displaystyle \Дельта Q}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle q(t^{-})}$

Таким образом, эта формулировка аппроксимирует состояние кусочно-постоянной функцией, которая обновляет свое значение, как только состояние отклоняется от этого приближения на один квант.${\displaystyle q(t)}$

Многомерная формулировка этой системы почти такая же , как и одномерная формулировка выше: квантованное состояние является функцией соответствующего ему состояния, , а вектор состояния является функцией всего квантованного вектора состояния, :${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle q_{k}(t)}$${\displaystyle x_{k}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)}$

Метод QSS второго порядка, QSS2, следует тому же принципу, что и QSS1, за исключением того, что он определяет как кусочно-линейную аппроксимацию траектории , которая обновляет свою траекторию, как только две отличаются друг от друга на один квант. Шаблон продолжается для аппроксимаций более высокого порядка, которые определяют квантованное состояние как последовательные полиномиальные аппроксимации более высокого порядка состояния системы.${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle q(t)}$

Важно отметить, что, хотя в принципе метод QSS произвольного порядка может быть использован для моделирования непрерывной во времени системы, редко бывает желательно использовать методы порядка выше четвертого, поскольку теорема Абеля–Руффини подразумевает, что время следующего квантования, , не может (в общем случае) быть явно решено для алгебраически, когда полиномиальное приближение имеет степень больше четвертой, и, следовательно, должно быть приближено итеративно с использованием алгоритма нахождения корня . На практике QSS2 или QSS3 оказываются достаточными для многих задач, а использование методов более высокого порядка приводит к незначительному, если вообще приводит, дополнительному преимуществу.${\displaystyle т}$

Методы QSS могут быть реализованы как дискретно-событийная система и смоделированы в любом симуляторе DEVS .

Методы QSS являются основным численным решателем для программного обеспечения PowerDEVS [BK011] . Они также были реализованы в виде отдельной версии.

• [CK06] Франсуа Э. Селье и Эрнесто Кофман (2006). Непрерывное системное моделирование (первое изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-26102-7.
• [BK11] Бергеро, Федерико и Кофман, Эрнесто (2011). «PowerDEVS: инструмент для моделирования гибридных систем и моделирования в реальном времени» (первое издание). Международное общество компьютерного моделирования, Сан-Диего.

• Автономная реализация методов QSS
• PowerDEVS на SourceForge