Квадратурные домены

В разделе математики , называемом теорией потенциала , квадратурная область в двумерном вещественном евклидовом пространстве — это область D ( открытое связное множество ) вместе с конечным подмножеством { z ₁ , …, z _k } области D, таким образом, что для каждой функции u, гармонической и интегрируемой на D относительно меры площади, интеграл от u относительно этой меры задается «квадратурной формулой», то есть:

${\displaystyle \iint _{D}u\,dxdy=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u(z_{j}),}$

где c _j — ненулевые комплексные константы, не зависящие от u .

Наиболее очевидным примером является случай, когда D представляет собой круглый диск: здесь k  = 1, z ₁ — центр круга, а c ₁ равно площади D. Эта квадратурная формула выражает свойство среднего значения гармонических функций относительно дисков.

Известно, что квадратурные области существуют для всех значений k . Аналогичное определение квадратурных областей существует в евклидовом пространстве размерности d больше 2. Существует также альтернативная, электростатическая интерпретация квадратурных областей: область D является квадратурной, если равномерное распределение электрического заряда на D создает такое же электростатическое поле вне D, как и набор k точечных зарядов в точках z ₁ , …,  z _k .

Квадратурные области и их многочисленные обобщения (например, замена меры площади на меру длины на границе D) в последние годы встречались в различных связях, таких как обратные задачи ньютоновской гравитации , течения Хеле-Шоу вязких жидкостей и чисто математические изопериметрические задачи, и интерес к ним, кажется, неуклонно растет. Они были предметом международной конференции в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре в 2003 году, и состояние дел на тот момент можно увидеть в трудах этой конференции, опубликованных Birkhäuser Verlag.

• Эбенфельт, Питер (2005). Квадратурные области и их приложения: Юбилейный том Гарольда С. Шапиро. Биркхойзер. ISBN 3-7643-7145-5. Получено 11 апреля 2007 г. .
• Ааронов, Дов; Шапиро, Гарольд С. (1976). «Области, на которых аналитические функции удовлетворяют квадратурным тождествам». Journal d'Analyse Mathématique . 30 : 39–73. doi :10.1007/BF02786704. S2CID  121520007.