q-производная

В математике , в области комбинаторики и квантового исчисления , q -производная , или производная Джексона , является q -аналогом обычной производной , введенной Фрэнком Хилтоном Джексоном . Это обратная функция q -интеграции Джексона . О других формах q-производной см. Chung et al. (1994).

Производная по q функции f ( x ) определяется как ^{[1] ​​[2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

Часто также записывается как . Производная q также известна как производная Джексона .${\displaystyle D_{q}f(x)}$

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

которая переходит в простую производную, как .${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle q\to 1}$

Он явно линеен,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Он имеет правило произведения, аналогичное обычному правилу производного произведения, с двумя эквивалентными формами

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

Аналогично, он удовлетворяет правилу частного,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

Существует также правило, аналогичное правилу цепочки для обычных производных. Пусть . Тогда${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

Собственная функция производной по q — это экспонента по q e _q ( x ).

Q -дифференциация напоминает обычную дифференциацию, с любопытными отличиями. Например, q -производная монома : [ ^2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

где - q -скобка n . Обратите внимание, что в этом пределе восстанавливается обычная производная.${\displaystyle [n]_{q}}$${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

n - ая q -производная функции может быть задана как: ^[3]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

при условии, что обычная n -я производная f существует при x = 0. Здесь — q- символ Похгаммера , а — q -факториал . Если — аналитическая функция, то можно применить формулу Тейлора к определению, чтобы получить${\displaystyle (q;q)_{n}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

Далее следует q - аналог разложения Тейлора функции относительно нуля: ^[2]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

Известно следующее представление для производных высшего порядка : ^{[4] [5]}${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$-биномиальный коэффициент . Изменив порядок суммирования на , получим следующую формулу: ^{[4] [6]}${\displaystyle q}$${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

Производные более высокого порядка используются для формулы Тейлора и формулы Родригеса ( формулы, используемой для построения ортогональных многочленов ^[4] ).${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

Постквантовое исчисление является обобщением теории квантового исчисления и использует следующий оператор: ^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

Вольфганг Хан ввел следующий оператор (разность Хана): ^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

Когда этот оператор сводится к -производной, и когда он сводится к прямой разности. Это успешный инструмент для построения семейств ортогональных многочленов и исследования некоторых задач аппроксимации. ^{[11] [12] [13]}${\displaystyle \omega \to 0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \beta }$-производная — это оператор, определяемый следующим образом: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

В определении — заданный интервал, а — любая непрерывная функция, которая строго монотонно возрастает (т.е. ). Когда , то этот оператор — производная, а когда этот оператор — разность Хана.${\displaystyle I}$${\displaystyle \beta (t)}$${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$${\displaystyle \beta (t)=qt}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

Q-исчисление использовалось в машинном обучении для проектирования стохастических функций активации. ^[16]

• Производные (обобщения)
• интеграл Джексона
• Q-экспоненциальный
• Q-разностные полиномы
• Квантовое исчисление
• Энтропия Цаллиса