В погоне за стеками

«Погоня за стеками» ( фр . À la Poursuite des Champs ) — влиятельная математическая рукопись Александра Гротендика, написанная в 1983 году . ^[1] Она состоит из 12-страничного письма Дэниелу Квиллену , за которым следуют около 600 страниц исследовательских заметок.

Тема работы — обобщенная гомотопическая теория с использованием теории высших категорий . Слово «стеки» в названии относится к тому, что в настоящее время обычно называют « ∞-группоидами », одно из возможных определений которых Гротендик набрасывает в своей рукописи. ( Стеки алгебраической геометрии, которые также восходят к Гротендику, не являются предметом этой рукописи.) Среди понятий, введенных в работе, — производные и тестовые категории .

Некоторые части рукописи были позднее развиты в:

• Жорж Мальциниотис (2005), «La théorie de l'homotopie de Grothendieck» [гомотопическая теория Гротендика] (PDF) , Asterisque , 301 , MR  2200690
• Дени-Шарль Сисински (2006), «Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie» [Предпучки как модели для гомотопических типов] (PDF) , Astérisque , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9, МР  2294028

Pursuing stacks начался как письмо Гротендика Дэниелу Квиллену. В этом письме он обсуждает прогресс Квиллена ^[2] в основах теории гомотопий и отмечает отсутствие прогресса с тех пор. Он отмечает, как некоторые из его друзей в университете Бангора , включая Рональда Брауна , изучали высшие фундаментальные группоиды для топологического пространства и как основы для такой темы могли быть заложены и релятивизированы с использованием теории топосов, уступая место высшим gerbes . Более того, он критиковал использование строгих группоидов для заложения этих основ, поскольку их было бы недостаточно для разработки полной теории, которую он представлял.${\displaystyle \Пи _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Он изложил свои идеи о том, как должен выглядеть такой ∞-группоид, и дал несколько аксиом, набросав, как он их себе представлял. По сути, это категории с объектами, стрелками, стрелками между стрелками и т. д., аналогично ситуации для высших гомотопий. Предполагается, что этого можно достичь, рассматривая последовательную последовательность категорий и функторов

${\displaystyle C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots }$

которые являются универсальными относительно любого вида высшего группоида. Это позволяет индуктивно определить ∞-группоид, который зависит от объектов и функторов включения , где категории отслеживают высшую гомотопическую информацию до уровня . Такая структура была позже названа когератором, поскольку она отслеживает все высшие когерентности. Эта структура была формально изучена Джорджем Малсиниотисом ^[3], который добился определенного прогресса в установлении этих основ и демонстрации гипотезы гомотопии .${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}\to C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n}$

На самом деле, описание формально аналогично и почти идентично описанию групп гомологии цепного комплекса – и поэтому может показаться, что эти стеки (точнее, Gr-стеки) являются в некотором смысле ближайшим возможным некоммутативным обобщением цепных комплексов, причем группы гомологии цепного комплекса становятся гомотопическими группами «некоммутативного цепного комплекса» или стека. - Гротендик [ ^{1] ​​стр. 23}

Это позже объясняется интуицией, предоставленной соответствием Дольда–Кана : симплициальные абелевы группы соответствуют цепным комплексам абелевых групп, поэтому более высокий стек, смоделированный как симплициальная группа, должен соответствовать «неабелеву» цепному комплексу . Более того, они должны иметь абелианизацию, заданную гомологиями и когомологиями, записанную предположительно как или , поскольку должен быть связанный формализм шести функторов ^{[1] стр. 24} . Более того, должна быть связанная теория операций Лефшеца, аналогичная тезису Рейно . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\bullet }}$${\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })}$${\displaystyle \mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })}$

Поскольку Гротендик представил себе альтернативную формулировку высших стеков с использованием шаровых группоидов и заметил, что должна быть соответствующая теория с использованием кубических множеств , он придумал идею тестовых категорий и тестовых функторов. ^{[1] стр. 42} По сути, тестовые категории должны быть категориями с классом слабых эквивалентностей, таким образом, что существует геометрический функтор реализации ${\displaystyle М}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle |\cdot |:M\to {\text{Пробелы}}}$

и слабая эквивалентность

${\displaystyle M[W^{-1}]\simeq {\text{Hot}}}$

где Hot обозначает гомотопическую категорию .

• Гипотеза гомотопии
• ∞-группоид
• Дериватор
• N-группа (теория категорий)

• В погоне за стеками, А. Гротендик 1983
• В поисках стеков в n Lab
• Предположения в «Поиске стеков» Гротендика, Mathoverflow.net
• Кошка как закрытая модельная категория
• Существует ли концептуальное объяснение того, почему «симплициальный» приводит к «гомотопически-теоретическому»?, Mathoverflow.net
• Что особенного в категории Simplex?
• Р. Браун , Истоки «Преследования стеков» Александра Гротендика