Псевдомонотонный оператор

В математике псевдомонотонный оператор из рефлексивного банахова пространства в его непрерывное сопряженное пространство — это оператор, который в некотором смысле ведет себя почти так же хорошо , как монотонный оператор . Многие задачи вариационного исчисления можно выразить с помощью псевдомонотонных операторов, а псевдомонотонность, в свою очередь, подразумевает существование решений этих задач.

Пусть ( X , || ||) — рефлексивное банахово пространство. Отображение T  :  X  →  X ^∗ из X в его непрерывное сопряженное пространство X ^∗ называется псевдомонотонным, если T — ограниченный оператор (не обязательно непрерывный) и если всякий раз, когда

${\displaystyle u_{j}\rightharpoonup u{\mbox{ в }}X{\mbox{ как }}j\to \infty }$

(т.е. u _j слабо сходится к u ) и

${\displaystyle \limsup _ {j\to \infty}\langle T (u_{j}),u_{j}-u\rangle \leq 0,}$

следует, что для всех v  ∈  X ,

${\ displaystyle \ liminf _ {j \ to \ infty} \ langle T (u_ {j}), u_ {j} -v \ rangle \ geq \ langle T (u), uv \ rangle .}$

Используя очень похожее доказательство теоремы Браудера–Минти , можно показать следующее:

Пусть ( X , || ||) — действительное рефлексивное банахово пространство и предположим, что T  :  X  →  X ^∗ ограничено , коэрцитивно и псевдомонотонно. Тогда для каждого непрерывного линейного функционала g  ∈  X ^∗ существует решение u  ∈  X уравнения T ( u )  = g .

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 367. ISBN 0-387-00444-0.(Определение 9.56, Теорема 9.57)