Проблема множественной общности

Проблема множественной общности именует неспособность традиционной логики описать некоторые интуитивно обоснованные выводы. Например, интуитивно ясно, что если:

Какую-то кошку боится каждая мышь

то отсюда логически следует, что:

Все мыши боятся как минимум одного кота .

Синтаксис традиционной логики (TL) допускает ровно четыре типа предложений: «Все As являются B», «Ни один As не являются B», «Некоторые As являются B» и «Некоторые As не являются B». Каждый тип является квантифицированным предложением, содержащим ровно один квантификатор. Поскольку каждое из предложений выше содержит два квантификатора («некоторые» и «каждый» в первом предложении и «все» и «по крайней мере один» во втором предложении), они не могут быть адекватно представлены в TL. Лучшее, что может сделать TL, — это включить второй квантификатор из каждого предложения во второй термин, таким образом передав искусственно звучащие термины «боится-каждая-мышь» и «боится-по крайней мере-одного-кота». Это фактически «хоронит» эти квантификаторы, которые необходимы для обоснованности вывода, внутри дефисных терминов. Следовательно, предложение «Какой-то кот боится всякая мышь» имеет ту же логическую форму , что и предложение «Какой-то кот голоден». И поэтому логическая форма в TL такова:

Некоторые А являются B

Все C — это D

что явно недействительно.

Первым логическим исчислением, способным иметь дело с такими выводами, был Begriffsschrift (1879) Готтлоба Фреге , предок современной предикатной логики , который имел дело с кванторами посредством переменных связываний. Скромно, Фреге не утверждал, что его логика была более выразительной, чем существующие логические исчисления, но комментаторы логики Фреге считают это одним из его ключевых достижений.

Используя современное исчисление предикатов , мы быстро обнаруживаем, что утверждение неоднозначно.

Какую-то кошку боится каждая мышь

может означать (какая-то кошка боится) каждая мышь (перефразируемо как Каждая мышь боится какой-то кошки ), т.е.

Для каждой мыши m существует кошка c, такая, что m боится c,

${\displaystyle \forall m\,(\,{\text{Мышь}}(m)\rightarrow \exists c\,({\text{Кошка}}(c)\land {\text{Страхи}}(m,c))\,)}$

в этом случае вывод тривиален.

Но это также может означать: « Какая-то кошка (которую боятся все мыши)» (перефразируя так: « Есть кошка, которую боятся все мыши »), т.е.

Существует одна кошка c, такая что для каждой мыши m, c боится m.

${\displaystyle \exists c\,(\,{\text{Кот}}(c)\land \forall m\,({\text{Мышь}}(m)\rightarrow {\text{Страхи}}(m,c))\,)}$

Этот пример иллюстрирует важность указания области действия таких квантификаторов, как для всех и существует .

• Патрик Суппес , Введение в логику , Д. Ван Ностранд, 1957, ISBN  978-0-442-08072-3 .
• А. Гамильтон, Логика для математиков , Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-29291-3 . 
• Пол Халмос и Стивен Гивант, Логика как алгебра , MAA, 1998, ISBN 0-88385-327-2 . 

Эта статья, связанная с логикой, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е