Принципы индуистского исчисления

{\displaystyle {\tfrac {5625}{243}}=23{\tfrac {36}{243}}} — Алгоритм деления, описанный в *«Принципах индуистского исчисления»*
${\tfrac {5625}{243}}=23{\tfrac {36}{243}}$

«Принципы индуистского исчисления» ( Kitab fi usul hisab al-hind ) — математическая книга, написанная персидским математиком X и XI веков Кушьяром ибн Лаббаном . Это вторая старейшая книга на арабском языке об индуистской арифметике с использованием индуистско-арабских цифр (० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹), которой предшествовала «Kitab al-Fusul fi al-Hisub al-Hindi» Абу -ль-Хасана Ахмада ибн Ибрагима аль-Углидиса , написанная в 952 году.

Хотя Аль-Хорезми также написал книгу об индуистской арифметике в 825 году, его арабский оригинал был утерян, и сохранился только перевод XII века. ^[1]^{: 3} Кушьяр ибн Лаббан не упоминал индийские источники по индуистскому исчислению , и не существует более ранней индийской книги, которая охватывала бы те же темы, что обсуждаются в этой книге. «Принципы индуистского исчисления» были одним из иностранных источников по индуистскому исчислению в X и XI веках в Индии. Она была переведена на английский язык Мартином Леви и Марвином Петруком в 1963 году с единственной сохранившейся арабской рукописи того времени: Istanbul, Aya Sophya Library, MS 4857 и еврейского перевода и комментариев Шалома бен Иосифа 'Анабі. ^[1]^{: 4}

Индийская доска для пыли

Индуистская арифметика проводилась на пылевой доске, похожей на китайскую счетную доску . Пылевая доска — это плоская поверхность со слоем песка и выложенная сетками. Очень похоже на китайские счетные палочки , пробел на сетке песчаной доски обозначал ноль, и знак нуля был не нужен. ^[2] Перестановка цифр подразумевает стирание и переписывание, в отличие от счетной доски.

Содержание

Сохранилась только одна арабская копия, которая сейчас хранится в библиотеке собора Святой Софии в Стамбуле. Также существует перевод на иврит с комментариями, хранящийся в Бодлианской библиотеке Оксфордского университета . В 1965 году издательство Висконсинского университета опубликовало английское издание этой книги, переведенное Мартином Леви и Марвином Петруком на основе арабского и еврейского изданий. Этот английский перевод включал 31 пластину факсимиле оригинального арабского текста. ^[1]

«Принципы индуистского исчисления» состоят из двух частей, посвященных арифметике в двухсистемной системе исчисления, существовавшей в Индии в то время.

Часть I в основном касалась десятичного алгоритма вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня и кубического корня в индийской системе счисления. Однако раздел о «делении пополам» был обработан иначе, т. е. с помощью гибрида десятичного и шестидесятеричного числа.

Сходство между десятичным индуистским алгоритмом и китайским алгоритмом в «Суньцзы Суаньцзин» поразительно ^[3] , за исключением операции деления пополам, поскольку в Китае не существовало гибридного десятичного/шестидесятеричного исчисления.

Часть II посвящена операциям вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня и кубического корня в шестидесятеричной системе счисления. В Китае существовала только позиционная десятичная арифметика, никогда не было шестидесятеричной арифметики.
В отличие от « Китаб аль-Фусул фи аль-Хисаб аль-Хинди» ( «Арифметика аль-Уклидиси ») Абу-ль-Хасана аль-Уклидиси , где основные математические операции сложения, вычитания, умножения и деления были описаны словами, в книге ибн Лаббана приводятся реальные процедуры вычислений, выраженные индо-арабскими цифрами.

Десятичная арифметика

Добавление

Кушьяр ибн Лаббан подробно описал сложение двух чисел.

Индийское сложение идентично сложению палочек в Сунцзы Суаньцзин ^[4]

операция	Стержневое исчисление	Индуистское летоисчисление
Макет	Расположите два числа в два ряда	Расположите два числа в два ряда
порядок расчета	слева направо	слева направо
результат	размещен в верхнем ряду	Расположен в верхнем ряду
удалить нижнюю строку	удалить цифру за цифрой слева направо	цифра не удалена

Существовало небольшое различие в обработке второго ряда: в индуистском исчислении цифры второго ряда, нарисованные на песчаной доске, оставались на месте от начала до конца, в то время как в стержневом исчислении стержни из нижних рядов физически удалялись и добавлялись к верхнему ряду, цифра за цифрой.

Вычитание

В 3-м разделе своей книги Кушьяр ибн Лаббан предоставил пошаговый алгоритм вычитания 839 из 5625. Цифры второго ряда оставались на месте все время. В стержневом исчислении цифра из второго ряда удалялась цифра за цифрой при вычислении, оставляя только результат в одной строке.

Умножение

Умножение Кушьяра ибн Лаббана является разновидностью умножения Сунзи.

операция	Сунзи	индуистский
множитель	размещен в верхнем ряду,	размещен в верхнем ряду,
множитель	третий ряд	2-я строка ниже множителя
выравнивание	последняя цифра множителя с первой цифрой множителя	последняя цифра множителя с первой цифрой множителя
множитель заполнения	заготовки для стержней	заготовки в виде стержня, а не индуистская цифра 0
порядок расчета	слева направо	слева направо
продукт	размещен в центральном ряду	объединено с мультипликантом
смещение множителя	на одну позицию вправо	на одну позицию вправо

Разделение

Профессор Лам Лай Йонг обнаружил, что индуистский метод деления, описанный Кушьяром ибн Лаббаном, полностью идентичен методу деления с помощью стержневого исчисления в «Суньцзы Суаньцзине» V века . ^[5]

{\displaystyle {\tfrac {6561}{9}}} — Алгоритм деления Санзи для ${\tfrac {6561}{9}}$

{\displaystyle {\tfrac {5625}{243}}} — Индуистское десятичное деление аля ибн Лаббан ${\tfrac {5625}{243}}$

операция	Подразделение Сунзи	индуистское подразделение
дивиденд	в среднем ряду,	в среднем ряду,
делитель	делитель в нижнем ряду	делитель в нижнем ряду
Частное	размещен в верхнем ряду	размещен в верхнем ряду
заполнение делителя	заготовки для стержней	заготовки в виде стержня, а не индуистская цифра 0
порядок расчета	слева направо	слева направо
Сдвиг делителя	на одну позицию вправо	на одну позицию вправо
Остаток	числитель в средней строке, знаменатель внизу	числитель в средней строке, знаменатель внизу

Помимо полностью идентичного формата, процедуры и остаточной дроби, одним из явных признаков, раскрывающих происхождение этого алгоритма деления, является отсутствие цифры 0 после 243, которая в настоящей индуистской системе счисления должна быть записана как 2430, а не 243blank; пустое место является особенностью стержневых цифр (и счет).

Разделить на 2

Деление на 2 или «уменьшение пополам» в индуистском исчислении обрабатывалось с помощью гибрида десятичных и шестидесятеричных цифр: оно вычислялось не слева направо, как десятичная арифметика, а справа налево: после деления пополам первой цифры 5, чтобы получить 2 1 ⁄ 2 , замените 5 на 2 и напишите под ней 30 :

5622

30

Окончательный результат:

2812

30

Извлечение квадратного корня

{\displaystyle {\tfrac {311}{968}}} — Алгоритм Санзи для вычисления квадратного корня 234567=383 ${\tfrac {311}{968}}$

Кушьяр ибн Лаббан описал алгоритм извлечения квадратного корня на примере

${\sqrt {(}}63342)=255{\frac {371}{511}}$

Алгоритм извлечения квадратного корня Кушьяра ибн Лаббана в основном такой же, как алгоритм Сунзи.

операция	квадратный корень Санзи	ибн Лаббан скрт
дивиденд	в среднем ряду,	в среднем ряду,
делитель	делитель в нижнем ряду	делитель в нижнем ряду
Частное	размещен в верхнем ряду	размещен в верхнем ряду
заполнение делителя	заготовки для стержней	заготовки в виде стержня, а не индуистская цифра 0
порядок расчета	слева направо	слева направо
удвоение делителя	умноженное на 2	умноженное на 2
Сдвиг делителя	на одну позицию вправо	на одну позицию вправо
Сдвиг коэффициента	Расположено в начале, без последующего сдвига	на одну позицию вправо
Остаток	числитель в средней строке, знаменатель внизу	числитель в средней строке, знаменатель внизу
конечный знаменатель	без изменений	добавить 1

Аппроксимация несовершенного квадратного корня с использованием алгоритма Санзи дает результат, немного превышающий истинное значение в десятичной части, аппроксимация квадратного корня Лаббана дала немного меньшее значение, целая часть та же.

Шестидесятеричная арифметика

Умножение

Формат индийского шестидесятеричного умножения полностью отличался от индийской десятичной арифметики. Пример Кушьяра ибн Лаббана с 25 градусами 42 минутами, умноженными на 18 градусов 36 минут, был записан вертикально как

18| |25

36| |42

с пробелом между ними ^[1]^{: 80}

Влияние

Принципы индуистского исчисления Кушьяра ибн Лаббана оказали сильное влияние на более поздних арабских алгористов. Его ученик ан-Насави следовал методу своего учителя. Алгорист XIII века Иорданус де Неморе находился под влиянием ан-Насави. Даже в XVI веке имя ибн Лаббана все еще упоминалось. ^[1]^{: 40–42}

Ссылки

^ abcde Ибн Лаббан, Кушьяр (1965). Kitab fi usul hisab al-hind [ Принципы индуистского исчисления ]. Перевод Levey, Martin; Petruck, Marvin. Madison: University of Wisconsin Press. LCCN 65012106. OL 5941486M.
↑ Джордж Ифра, Всеобщая история чисел, стр. 554.
^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетные шаги, стр. 52.
^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 47, Всемирный научный.
^ Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 43, Всемирный научный.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с принципами индуистского исчисления на Wikimedia Commons
Развитие индо-арабской и традиционной китайской арифметики, Chinese Science 13 1996, 35-54

[levey-1] Ибн Лаббан, Кушьяр (1965). Kitab fi usul hisab al-hind [ Принципы индуистского исчисления ]. Перевод Levey, Martin; Petruck, Marvin. Madison: University of Wisconsin Press. LCCN 65012106. OL 5941486M.

[2] Джордж Ифра, Всеобщая история чисел, стр. 554.

[3] Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетные шаги, стр. 52.

[4] Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 47, Всемирный научный.

[5] Лам Лэй Ён, Анг Тянь Се, Мимолетный шаг, стр. 43, Всемирный научный.