Магический квадрат обратного числа

Обратный магический квадрат простого числа — это магический квадрат, использующий десятичные цифры числа, обратного простому числу .

В десятичной системе дроби и не имеют повторяющихся десятичных знаков , в то время как повторяется бесконечно. Остаток от , с другой стороны, повторяется более шести цифр, как,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle 0.3333\точки}$${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$$${\displaystyle 0.{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}\точки }$$

Следовательно, кратные одной седьмой демонстрируют циклические перестановки этих шести цифр: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{align}1/7&=0,142857\точек \\2/7&=0,285714\точек \\3/7&=0,428571\точек \\4/7&=0,571428\точек \\5/7&=0,714285\точек \\6/7&=0,857142\точек \end{align}}}$$

Если цифры разложить в виде квадрата , то сумма каждой строки и столбца составит Это дает наименьший ненормальный, обратный магический квадрат с основанием 10.${\displaystyle 1+4+2+8+5+7=27.}$

${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$

В отличие от строк и столбцов, диагонали этого квадрата в сумме не равны 27; однако их среднее значение равно 27, поскольку одна диагональ в сумме дает 23, а другая — 31.

Все простые обратные числа в любом основании с периодом будут генерировать магические квадраты, где все строки и столбцы будут производить магическую константу , и только несколько избранных будут полными , так что их диагонали, строки и столбцы в совокупности дадут равные суммы.${\displaystyle p-1}$

В полном или, иначе, простом обратном магическом квадрате с периодом четное число −-х строк в квадрате расположено кратно — не обязательно последовательно — так, что можно получить магическую константу.${\displaystyle p-1}$${\displaystyle к}$${\displaystyle 1/п}$

Например, четный повторяющийся цикл из нечетного, простого обратного числа , которое делится на строки из − цифр, создает пары дополнительных последовательностей цифр, которые при сложении дают строки из девяток (9): ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1/7=&{\text{ }}0.142\;857\dots \\+&{\text{ }}0.857\;142\ldots =6/7\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\ldots \\\\1/13=&{\text{ }}0.076\;923\;076\;923\dots \\+&{\text{ }}0.923\;076\;923\;076\ldots =12/13\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\;999\;999\ldots \\\\1/19=&{\text{ }}0.052631578\;947368421\dots \\+&{\text{ }}0.947368421\;052631578\ldots =18/19\\&------------\\&{\text{ }}0.999999999\;999999999\dots \\\end{aligned}}}$$

Это результат теоремы Миди . ^{[2] [3]} Эти дополнительные последовательности генерируются между кратными простым обратным числам , которые в сумме дают 1.

Более конкретно, множитель в числителе обратной величины простого числа сдвинет десятичные знаки его десятичной дроби соответствующим образом,${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1/23&=0.04347826\;08695652\;173913\ldots \\2/23&=0.08695652\;17391304\;347826\ldots \\4/23&=0.17391304\;34782608\;695652\ldots \\8/23&=0.34782608\;69565217\;391304\ldots \\16/23&=0.69565217\;39130434\;782608\ldots \\\end{aligned}}}$$

В этом случае коэффициент 2 перемещает периодическую десятичную дробь на восемь позиций.${\displaystyle {\tfrac {1}{23}}}$

Единообразное решение простого обратного магического квадрата, будь то полное или нет, будет содержать строки с последовательными кратными . Можно построить другие магические квадраты, строки которых не представляют последовательные кратные , которые, тем не менее, генерируют магическую сумму.${\displaystyle 1/p}$${\displaystyle 1/p}$

Магические квадраты, основанные на обратных величинах простых чисел в основаниях с периодами, имеют магические суммы , равные, ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p-1}$

$${\displaystyle M=(b-1)\times {\frac {p-1}{2}}.}$$

В таблице ниже перечислены некоторые простые числа, которые генерируют магические квадраты простых и обратных чисел в заданных основаниях.

Магический квадрат с максимальным периодом 18 содержит сумму строк и столбцов 81, которая также получается обеими диагоналями. Это делает его первым полным, ненормальным простым обратным магическим квадратом с основанием 10, кратные которого помещаются внутри соответствующих строк −: ^{[4] [5]}${\displaystyle {\mathbf {\tfrac {1}{19}}}}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1/19&=0.{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}1}\dots \\2/19&=0.1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2\dots \\3/19&=0.1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}6{\text{ }}3\dots \\4/19&=0.2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4\dots \\5/19&=0.2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5\dots \\6/19&=0.3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6\dots \\7/19&=0.3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}1}{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7\dots \\8/19&=0.4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8\dots \\9/19&=0.4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9\dots \\10/19&=0.5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0\dots \\11/19&=0.5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1\dots \\12/19&=0.6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}8}{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2\dots \\13/19&=0.6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3\dots \\14/19&=0.7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4\dots \\15/19&=0.7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5\dots \\16/19&=0.8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}3{\text{ }}6\dots \\17/19&=0.8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7\dots \\18/19&=0.{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}8}\dots \\\end{aligned}}}$$

Первые несколько простых чисел в десятичной системе счисления, обратные числа которых можно использовать для создания ненормального, полного простого обратного магического квадрата этого типа, это ^[6]

{19, 383, 32327, 34061, 45341, 61967, 65699, 117541, 158771, 405817, ...} (последовательность A072359 в OEIS ).

Наименьшее простое число, дающее такой магический квадрат в двоичной системе , — 59 (111011 ₂ ), а в троичной — 223 (22021 ₃ ); они перечислены под номерами A096339 и A096660.

Простой обратный магический квадрат с максимальным периодом 16 и магической константой 72 может быть построен так, чтобы его строки представляли непоследовательные числа, кратные одной семнадцатой: ^{[7] [8]}${\displaystyle {\tfrac {1}{17}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1/17&=0.{\color {blue}0}{\text{ }}5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\dots \\5/17&=0.2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\dots \\8/17&=0.4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\dots \\6/17&=0.3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\dots \\13/17&=0.7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\dots \\14/17&=0.8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\dots \\2/17&=0.1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\dots \\10/17&=0.5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\dots \\16/17&=0.9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\dots \\12/17&=0.7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\dots \\9/17&=0.5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\dots \\11/17&=0.6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\dots \\4/17&=0.2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\dots \\3/17&=0.1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\dots \\15/17&=0.8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\dots \\7/17&=0.{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\dots \\\end{aligned}}}$$

Таким образом, этот полный магический квадрат является первым в своем роде в десятичной системе счисления, который не допускает единого решения, где последовательные кратные умещаются в соответствующих −-ых строках.${\displaystyle 1/p}$${\displaystyle k}$

• Циклическое число
• Обратные величины простых чисел