Уравнение колебания

Энергосистема состоит из ряда синхронных машин, работающих синхронно при всех рабочих условиях. При нормальных рабочих условиях относительное положение оси ротора и результирующей оси магнитного поля фиксировано. Угол между ними известен как угол мощности , угол крутящего момента или угол ротора . Во время любого возмущения ротор замедляется или ускоряется по отношению к синхронно вращающейся магнитодвижущей силе воздушного зазора, создавая относительное движение. Уравнение, описывающее относительное движение, известно как уравнение качания, которое является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка , описывающим качание ротора синхронной машины. Обмен мощностью между механическим ротором и электрической сетью из-за качания ротора (ускорение и замедление) называется инерционным откликом .

Вывод

Синхронный генератор приводится в действие первичным двигателем. Уравнение, управляющее движением ротора, имеет вид:

Дж. г 2 θ м г т 2 = Т а = Т м − Т е {\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}} Н -м

Где:

  • Дж. {\displaystyle J} - полный момент инерции массы ротора в кг-м 2
  • θ м {\displaystyle \theta _{\text{м}}} угловое положение ротора относительно неподвижной оси в (рад)
  • т {\displaystyle т} время в секундах (с)
  • Т м {\displaystyle T_{\text{м}}} механический крутящий момент, создаваемый первичным двигателем, в Н -м
  • Т е {\displaystyle T_{\text{e}}} электрический крутящий момент генератора переменного тока в Н -м
  • Т а {\displaystyle T_{a}} чистый ускоряющий крутящий момент, в Н -м

Пренебрегая потерями, разница между механическим и электрическим моментами дает чистый ускоряющий момент T a . В установившемся состоянии электрический момент равен механическому моменту, и, следовательно, ускоряющая мощность равна нулю. [1] В течение этого периода ротор движется с синхронной скоростью ω s в рад/с. Электрический момент T e соответствует чистой мощности воздушного зазора в машине и, таким образом, учитывает общую выходную мощность генератора плюс потери I 2 R в обмотке якоря .

Угловое положение θ измеряется с помощью неподвижной системы отсчета. Представляя его относительно синхронно вращающейся системы отсчета, получаем:

θ м = ω с т + δ м {\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{s}}t+\delta _{\text{m}}}

где, δ m - угловое положение в рад относительно синхронно вращающейся системы отсчета. Производная приведенного выше уравнения по времени равна:

г θ м г т = ω с + г δ м г т {\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{s}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}}

Приведенные выше уравнения показывают, что угловая скорость ротора равна синхронной скорости только тогда, когда dδ m /d t равно нулю. Поэтому член dδ m /d t представляет собой отклонение скорости ротора от синхронизма в рад/с.

Взяв производную второго порядка от приведенного выше уравнения, получим:

г 2 θ м г т 2 = г 2 δ м г т 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}}

Подстановка приведенного выше уравнения в уравнение движения ротора дает:

Дж. г 2 δ м г т 2 = Т а = Т м − Т е {\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}} Н -м

Вводя угловую скорость ω m ротора для обозначения и умножая обе части на ω m , ω м = г θ м г т {\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}}

Дж. ω м г 2 δ м г т 2 = П а = П м − П е {\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}} Вт

где P m , P e и Pa ​​соответственно — механическая, электрическая и ускоряющая мощность в МВт .

Коэффициент Jω m представляет собой момент количества движения ротора: при синхронной скорости ω s он обозначается M и называется постоянной инерции машины. Нормируя его как

ЧАС = запасенная кинетическая энергия в мегаджоулях при синхронной скорости Рейтинг машины в МВА = Дж. ω с 2 2 С оцененный {\displaystyle H={\frac {\text{сохраненная кинетическая энергия в мегаджоулях при синхронной скорости}}{\text{номинальная мощность машины в МВА}}}={\frac {Дж\omega _{\text{с}}^{2}}{2S_{\text{номинальная}}}}} МДж/МВА

где S rated — трехфазная номинальная мощность машины в МВА . Подставляя в приведенное выше уравнение

2 ЧАС С оцененный ω с 2 ω м г 2 δ м г т 2 = П м − П е = П а {\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{s}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}} .

В установившемся режиме угловая скорость машины равна синхронной скорости, и, следовательно, ω m можно заменить в приведенном выше уравнении на ω s . Поскольку P m , P e и Pa ​​даны в МВт, деление их на номинальную мощность генератора S rated дает эти величины в расчете на единицу. Разделив приведенное выше уравнение с обеих сторон на S rated , получаем

2 ЧАС ω с г 2 δ г т 2 = П м − П е = П а {\displaystyle {\frac {2H}{\omega _{\text{s}}}}{\frac {d^{2}{\delta }}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{e}=P_{a}} за единицу

Вышеприведенное уравнение описывает поведение динамики ротора и, следовательно, известно как уравнение качания. Угол δ является углом внутренней ЭДС генератора и определяет количество мощности, которое может быть передано. Этот угол, следовательно, называется углом нагрузки.

Ссылки

  1. ^ Грейнджер, Джон Дж.; Стивенсон, Уильям Д. (1 января 1994 г.). Анализ энергосистемы. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-061293-8.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Swing_equation&oldid=1191868802"