Положительная гармоническая функция

В математике положительная гармоническая функция на единичном круге в комплексных числах характеризуется как интеграл Пуассона конечной положительной меры на окружности. Этот результат, теорема о представлении Герглотца-Рисса , был доказан независимо Густавом Герглотцем и Фридьешем Риссом в 1911 году. Его можно использовать для получения связанной формулы и характеристики для любой голоморфной функции на единичном круге с положительной действительной частью. Такие функции уже были охарактеризованы в 1907 году Константином Каратеодори в терминах положительной определенности их коэффициентов Тейлора .

Положительная функция f на единичном круге с f (0) = 1 является гармоничной тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичном круге такая, что

${\displaystyle f(re^{i\theta})=\int _{0}^{2\pi}{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi)+r^{2}}\,d\mu (\varphi).}$

Формула четко определяет положительную гармоническую функцию с f (0) = 1.

Наоборот, если f положительна и гармонична, а r _n увеличивается до 1, определите

${\displaystyle f_{n}(z)=f(r_{n}z).\,}$

Затем

${\displaystyle f_{n}(re^{i\theta})={1 \over 2\pi}\int _{0}^{2\pi}{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi)+r^{2}}\,f_{n}(\varphi)\,d\phi =\int _{0}^{2\pi}{1-r^{2} \over 1-2r\cos(\theta -\varphi)+r^{2}}d\mu _{n}(\varphi)}$

где

${\displaystyle d\mu _{n}(\varphi)={1 \over 2\pi}f(r_{n}e^{i\varphi})\,d\varphi }$

является вероятностной мерой.

По аргументу компактности (или, что эквивалентно в данном случае, теореме Хелли о выборе для интегралов Стилтьеса ) подпоследовательность этих вероятностных мер имеет слабый предел, который также является вероятностной мерой μ.

Поскольку r _n увеличивается до 1, так что f _n ( z ) стремится к f ( z ), то отсюда следует формула Герглотца.

Голоморфная функция f на единичном круге с f (0) = 1 имеет положительную действительную часть тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичной окружности такая, что

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}$

Это следует из предыдущей теоремы, поскольку:

• ядро Пуассона — это действительная часть подынтегрального выражения выше
• действительная часть голоморфной функции является гармонической и определяет голоморфную функцию с точностью до прибавления скаляра
• Приведенная выше формула определяет голоморфную функцию, действительная часть которой дается предыдущей теоремой

Позволять

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

быть голоморфной функцией на единичном круге. Тогда f ( z ) имеет положительную действительную часть на круге тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}$

для любых комплексных чисел λ ₀ , λ ₁ , ..., λ _N , где

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}$

для м > 0.

Фактически из представления Герглотца для n > 0

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}$

Следовательно

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

Наоборот, установив λ _n  =  z ⁿ ,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

• Теорема Бохнера

• Каратеодори, К. (1907), «Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen», Math. Энн. , 64 : 95–115 , doi :10.1007/bf01449883, S2CID  116695038
• Дюрен, PL (1983), Одновалентные функции , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Шпрингер-Верлаг, ISBN 0-387-90795-5
• Херглотц, Г. (1911), «Über Potenzreihen mit позитивный, reellen Teil im Einheitskreis», Ber. Верх. Сакс. Акад. Висс. Лейпциг , 63 : 501–511 .
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Рисс, Ф. (1911), «Особые системы интегральных уравнений», Ann. наук. Эк. Норм. Супер. , 28 : 33–62 , doi : 10.24033/asens.633