Круговое распространение
Тип распределения вероятностей

В теории вероятности и статистики круговое распределение или полярное распределение — это распределение вероятностей случайной величины , значения которой являются углами, обычно принимаемыми в диапазоне [0, 2π ) . [1] Круговое распределение часто является непрерывным распределением вероятностей и, следовательно, имеет плотность вероятности , но такие распределения могут быть также дискретными , в этом случае они называются круговыми решетчатыми распределениями . [1] Круговые распределения можно использовать даже тогда, когда рассматриваемые переменные явно не являются углами: главное соображение заключается в том, что обычно нет никакого реального различия между событиями, происходящими на противоположных концах диапазона, и разделение диапазона теоретически может быть сделано в любой точке.

Графическое представление

Если круговое распределение имеет плотность

п ( ϕ ) ( 0 ≤ ϕ < 2 π ) , {\displaystyle p(\phi)\qquad \qquad (0\leq \phi <2\pi),\,}

графически его можно представить в виде замкнутой кривой

[ х ( ϕ ) , у ( ϕ ) ] = [ г ( ϕ ) потому что ⁡ ϕ , г ( ϕ ) грех ⁡ ϕ ] , {\displaystyle [x(\phi),y(\phi)]=[r(\phi)\cos \phi,\,r(\phi)\sin \phi],\,}

где радиус задается равным г ( ϕ ) {\displaystyle r(\phi)\,}

г ( ϕ ) = а + б п ( ϕ ) , {\displaystyle r(\phi)=a+bp(\phi),\,}

и где a и b выбираются на основе внешнего вида.

Примеры

Вычисляя распределение вероятностей углов вдоль рукописного следа чернил, возникает полярное распределение в форме лепестка. Основное направление лепестка в первом квадранте соответствует наклону почерка (см.: графономика ).

Примером кругового решетчатого распределения может служить вероятность рождения в определенном месяце года, при этом каждый календарный месяц рассматривается как расположенный по кругу, так что «январь» находится рядом с «декабрем».

Любая функция плотности вероятности (pdf) на линии может быть «обернута» вокруг окружности единичного радиуса. [2] То есть, pdf обернутой переменной равна   п ( х ) {\displaystyle \ p(x)} θ = х ж = х мод 2 π     ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi,\pi ]} п ж ( θ ) = ∑ к = − ∞ ∞ п ( θ + 2 π к ) . {\displaystyle p_{w}(\theta)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}

Эту концепцию можно распространить на многомерный контекст, расширив простую сумму до ряда сумм, охватывающих все измерения в пространстве признаков: где — -й евклидов базисный вектор. Ф {\displaystyle F} п ж ( θ ) = ∑ к 1 = − ∞ ∞ ⋯ ∑ к Ф = − ∞ ∞ п ( θ + 2 π к 1 е 1 + ⋯ + 2 π к Ф е Ф ) {\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1} = -\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}} е к = ( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) Т {\displaystyle \mathbf {e} _{k} = (0,\dots,0,1,0,\dots,0)^{\mathsf {T}}} к {\displaystyle к}

В следующих разделах показаны некоторые соответствующие круговые распределения.

Круговое распределение фон Мизеса

Распределение фон Мизеса является круговым распределением, которое, как и любое другое круговое распределение, можно рассматривать как обертывание определенного линейного распределения вероятностей вокруг круга. Базовое линейное распределение вероятностей для распределения фон Мизеса математически не поддается обработке; однако для статистических целей нет необходимости иметь дело с базовым линейным распределением. Полезность распределения фон Мизеса двояка: оно является наиболее математически поддающимся обработке из всех круговых распределений, позволяя проводить более простой статистический анализ, и оно является близким приближением к обернутому нормальному распределению, которое, аналогично линейному нормальному распределению, важно, поскольку является предельным случаем для суммы большого числа малых угловых отклонений. Фактически, распределение фон Мизеса часто называют «круговым нормальным» распределением из-за его простоты использования и его тесной связи с обернутым нормальным распределением. [3]

PDF распределения фон Мизеса имеет вид: где — модифицированная функция Бесселя порядка 0. ф ( θ ; μ , к ) = е к потому что ⁡ ( θ − μ ) 2 π я 0 ( к ) {\displaystyle f(\theta;\mu,\kappa)={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu)}}{2\pi I_{0}(\kappa)}}} я 0 {\displaystyle I_{0}}

Круговое равномерное распределение

Функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения определяется выражением У ( θ ) = 1 2 π . {\displaystyle U(\theta)={\frac {1}{2\pi }}.}

Его также можно рассматривать как аналогичный подход фон Мизеса. к = 0 {\displaystyle \каппа =0}

Нормальное распределение в обертке

PDF обернутого нормального распределения (WN) имеет вид: где μ и σ — среднее значение и стандартное отклонение развернутого распределения соответственно, а — тета-функция Якоби : где и Вт Н ( θ ; μ , σ ) = 1 σ 2 π ∑ к = − ∞ ∞ эксп ⁡ [ − ( θ − μ − 2 π к ) 2 2 σ 2 ] = 1 2 π ϑ ( θ − μ 2 π , я σ 2 2 π ) {\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} ϑ ( θ , τ ) {\displaystyle \vartheta (\theta,\tau)} ϑ ( θ , τ ) = ∑ н = − ∞ ∞ ( ж 2 ) н д н 2 {\displaystyle \vartheta (\theta,\tau)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}} ж ≡ е я π θ {\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta}} д ≡ е я π τ . {\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}

Обернутое распределение Коши

PDF обернутого распределения Коши (WC) имеет вид: где — масштабный коэффициент, а — положение пика. Вт С ( θ ; θ 0 , γ ) = ∑ н = − ∞ ∞ γ π ( γ 2 + ( θ + 2 π н − θ 0 ) 2 ) = 1 2 π грех ⁡ γ дубинка ⁡ γ − потому что ⁡ ( θ − θ 0 ) {\displaystyle WC(\theta;\theta _{0},\gamma)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2) }+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}} γ {\displaystyle \гамма} θ 0 {\displaystyle \тета _{0}}

Распределение упакованных Леви

PDF обернутого распределения Леви (WL) имеет вид: где значение слагаемого принимается равным нулю, когда , — масштабный коэффициент, а — параметр местоположения. ф Вт Л ( θ ; μ , с ) = ∑ н = − ∞ ∞ с 2 π е − с / 2 ( θ + 2 π н − μ ) ( θ + 2 π н − μ ) 3 / 2 {\displaystyle f_{WL}(\theta;\mu,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\, {\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}} θ + 2 π н − μ ≤ 0 {\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0} с {\displaystyle с} μ {\displaystyle \мю}

Прогнозируемое нормальное распределение

Проецируемое нормальное распределение представляет собой круговое распределение, представляющее направление случайной величины с многомерным нормальным распределением, полученное радиальной проекцией переменной на единичную (n-1)-сферу. В связи с этим, и в отличие от других обычно используемых круговых распределений, оно не является ни симметричным, ни унимодальным .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Dodge, Y. (2006). Оксфордский словарь статистических терминов . OUP. ISBN 0-19-920613-9.
  2. ^ Бальманн, К., (2006), Направленные признаки в онлайн-распознавании рукописного текста, Распознавание образов, 39
  3. ^ Фишер 1993.

Источники

  • Круговые значения Математика и статистика с C++11, инфраструктура C++11 для круговых значений (углы, время суток и т. д.) Математика и статистика
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Circular_distribution&oldid=1224875813"