Полярная кривая

В алгебраической геометрии первая поляра или просто поляра алгебраической плоской кривой C степени n относительно точки Q — это алгебраическая кривая степени n −1, которая содержит каждую точку C , касательная к которой проходит через Q. Она используется для исследования связи между кривой и ее двойственной точкой , например, при выводе формул Плюккера .

Пусть C определено в однородных координатах как f ( x, y, z ) = 0, где f — однородный многочлен степени n , и пусть однородные координаты Q будут ( a ,  b ,  c ). Определим оператор

${\displaystyle \Delta _{Q}=a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over \partial y}+c{\partial \over \partial z}.}$

Тогда Δ _Q f является однородным многочленом степени n −1 и Δ _Q f ( x, y, z ) = 0 определяет кривую степени n −1, называемую первой полярой C относительно Q .

Если P =( p ,  q ,  r ) — неособая точка на кривой C , то уравнение касательной в точке P имеет вид

${\displaystyle x{\partial f \over \partial x}(p,q,r)+y{\partial f \over \partial y}(p,q,r)+z{\partial f \over \partial z}(p,q,r)=0.}$

В частности, P находится на пересечении C и ее первой поляры относительно Q тогда и только тогда, когда Q находится на касательной к C в точке P. Для двойной точки C все частные производные f равны 0, поэтому первая поляра также содержит эти точки.

Класс кривой C можно определить как число касательных, которые можно провести к C из точки, не лежащей на C (с учетом кратностей и включая мнимые касательные). Каждая из этих касательных касается C в одной из точек пересечения C и первой поляры, и по теореме Безу их не более n ( n −1). Это устанавливает верхнюю границу n ( n −1) для класса кривой степени n . Класс можно вычислить точно, подсчитав число и тип особых точек на C (см. формулу Плюккера ).

P -я поляра C для натурального числа p определяется как Δ _Q ^p f ( x, y, z ) = 0. Это кривая степени n − p . Когда p равно n −1, p -я поляра является линией, называемой полярной линией C относительно Q . Аналогично, когда p равно n −2 , кривая называется полярной коникой C .

Используя ряд Тейлора по нескольким переменным и используя однородность, f (λ a +μ p , λ b +μ q , λ c +μ r ) можно разложить двумя способами:

${\displaystyle \mu ^{n}f(p,q,r)+\lambda \mu ^{n-1}\Delta _{Q}f(p,q,r)+{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\mu ^{n-2}\Delta _{Q}^{2}f(p,q,r)+\dots }$

и

${\displaystyle \lambda ^{n}f(a,b,c)+\mu \lambda ^{n-1}\Delta _{P}f(a,b,c)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\lambda ^{n-2}\Delta _{P}^{2}f(a,b,c)+\dots .}$

Сравнение коэффициентов λ ^p μ ^{n − p} показывает, что

${\displaystyle {\frac {1}{p!}}\Delta _{Q}^{p}f(p,q,r)={\frac {1}{(np)!}}\Delta _{P}^{np}f(a,b,c).}$

В частности, p -я поляра C относительно Q является геометрическим местом точек P , так что ( n − p )-я поляра C относительно P проходит через Q. ^[1]

Если полярная линия C относительно точки Q является прямой L , то Q называется полюсом L. Данная прямая имеет ( n −1) ² полюса (с учетом кратностей и т. д.), где n — степень C. Чтобы увидеть это, выберите две точки P и Q на L. Геометрическое место точек, полярные линии которых проходят через P , является первой полярой P , и это кривая степени n − 1 . Аналогично, геометрическое место точек, полярные линии которых проходят через Q, является первой полярой Q , и это также кривая степени n − 1 . Полярная линия точки является L тогда и только тогда, когда она содержит как P , так и Q , поэтому полюса L являются в точности точками пересечения двух первых поляр. По теореме Безу эти кривые имеют ( n −1) ² точек пересечения, и это полюса L. ^[2]

Для данной точки Q =( a ,  b ,  c ) полярная коника является геометрическим местом точек P , так что Q находится на второй поляре P. Другими словами, уравнение полярной коники имеет вид

${\displaystyle \Delta _{(x,y,z)}^{2}f(a,b,c)=x^{2}{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}(a,b,c)+2xy{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}(a,b,c)+\dots =0.}$

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель гессиана функции f ,

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\,\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}},}$

обращается в нуль. Следовательно, уравнение | H ( f )|=0 определяет кривую, геометрическое место точек, полярные коники которых вырождены, степени 3( n − 2 ) , называемую кривой Гессе C .

• Полярная гиперповерхность
• Полюс и полярный

• Бассет, Альфред Барнард (1901). Элементарный трактат о кубических и четвертых кривых. Deighton Bell & Co., стр. 16 и далее.
• Салмон, Джордж (1879). Высшие плоские кривые. Ходжес, Фостер и Фиггис. стр. 49 и далее.
• Раздел 1.2 Фултона, Введение в теорию пересечений в алгебраической геометрии , CBMS, AMS, 1984.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Полярный», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Гессиан (алгебраическая кривая)", Энциклопедия математики , EMS Press