личность Похожаева

Тождество Похожаева — интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна–Гордона . Оно было получено С.И. Похожаевым ^[1] и похоже на теорему вириала . Это соотношение также известно как теорема Г. Х. Деррика . Аналогичные тождества можно вывести и для других уравнений математической физики.

Вот общая форма, принадлежащая Г. Берестицкому и П.-Л. Лионсу . ^[2]

Пусть будет непрерывным и действительным, причем . Обозначим . Пусть${\displaystyle г(с)}$${\displaystyle г(0)=0}$${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$

${\displaystyle u\in L_ {\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N},}$

быть решением уравнения

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}$,

в смысле распределений . Тогда удовлетворяет соотношению${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {n-2}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.}$

Существует форма вириального тождества для стационарного нелинейного уравнения Дирака в трех пространственных измерениях (а также уравнений Максвелла-Дирака) ^[3] и в произвольной пространственной размерности. ^[4] Пусть и пусть и будут самосопряженными матрицами Дирака размера :${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \alpha ^{i},\,1\leq i\leq n}$${\displaystyle \бета}$ ${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle \alpha ^{i}\alpha ^{j}+\alpha ^{j}\alpha ^{i}=2\delta _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}=I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.}$

Пусть будет безмассовым оператором Дирака . Пусть будет непрерывным и вещественнозначным, причем . Обозначим . Пусть будет спинорнозначным решением, удовлетворяющим стационарной форме нелинейного уравнения Дирака ,${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$${\displaystyle г(с)}$${\displaystyle г(0)=0}$${\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$${\displaystyle \phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N})}$

${\displaystyle \omega \phi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,}$

в смысле распределений , с некоторыми . Предположим, что${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi \in H^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast }\beta \phi )\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Тогда удовлетворяет соотношению${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.}$

• Теорема вириала
• Теорема Деррика