Теорема Польке

Теорема Польке — основная теорема аксонометрии . Она была установлена в 1853 году немецким художником и преподавателем начертательной геометрии Карлом Вильгельмом Польке . Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1864 году немецким математиком Германом Амандусом Шварцем , который был учеником Польке. Поэтому теорему иногда называют также теоремой Польке и Шварца .

Теорема

Три произвольных отрезка прямой на плоскости, исходящие из точки , не содержащиеся в одной прямой, можно рассматривать как параллельные проекции трех ребер куба . ${\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}$ ${\overline {O}}$ $OU,OV,OW$

Для отображения единичного куба необходимо применить дополнительное масштабирование либо в пространстве, либо в плоскости. Поскольку параллельная проекция и масштабирование сохраняют соотношения, можно отобразить произвольную точку с помощью аксонометрической процедуры ниже. $P=(x,y,z)$

Теорему Польке можно сформулировать в терминах линейной алгебры следующим образом:

Любое аффинное отображение трехмерного пространства на плоскость можно рассматривать как композицию подобия и параллельной проекции. ^[1]

Применение в аксонометрии

Теорема Польке является обоснованием следующей простой процедуры построения масштабированной параллельной проекции трехмерного объекта с использованием координат: ^[2]^[3]

Выберите изображения осей координат, не содержащиеся в одной строке.
Выберите любую координатную ось для сокращений $v_{x},v_{y},v_{z}>0.$
Изображение точки определяется тремя шагами, начиная с точки : ${\overline {P}}$ $P=(x,y,z)$ ${\overline {O}}$

идите в -направлении, затем

v_{x}\cdot x

{\overline {x}}

идите в -направлении, затем

v_{y}\cdot y

{\overline {y}}

идти в -направлении и

v_{z}\cdot z

{\overline {z}}

4. отметьте точку как .

{\overline {P}}

Для получения неискаженных изображений необходимо тщательно выбирать изображения осей и ракурсов (см. Аксонометрия ). Для получения ортографической проекции свободны только изображения осей и определены ракурсы. (см. de:orthogonale Axonometrie).

Замечания по доказательству Шварца

Шварц сформулировал и доказал более общее утверждение:

Вершины любого четырехугольника можно рассматривать как косую параллельную проекцию вершин тетраэдра, подобного данному тетраэдру . ^[4]

и использовал теорему Люилье :

Каждый треугольник можно рассматривать как ортографическую проекцию треугольника заданной формы.

Примечания

^ Г. Пикерт: Vom Satz von Pohlke zur Linearen Algebra , Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, стр. 297–306.
^ Ульрих Граф, Мартин Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961, ISBN 3-494-00488-9 , стр.144.
^ Роланд Старк: Darstellende Geometrie , Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , стр.156.
^ Скленарикова, Зита; Пемова, Марта (2007). «Теорема Польке-Шварца и ее актуальность в дидактике математики» (PDF) . Quaderni di Ricerca в Дидаттике (17). ГРИМ (факультет математики, Университет Палермо, Италия): 155.

Ссылки

К. Польке : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometry. Гертнер-Верлаг, Берлин, 1876 г. (Google Книги).
Шварц, HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometry , J. Reine Angew. Математика. 63, 309–314, 1864.
Арнольд Эмх: Доказательство теоремы Польке и ее обобщения с помощью сродства , Американский журнал математики, т. 40, № 4 (октябрь 1918 г.), стр. 366–374

Внешние ссылки

Ф. Клейн: Основная теорема Польке, в Элементарной математике с высшей точки зрения: Том II: Геометрия, стр. 97,
Кристоф Дж. Скриба, Питер Шрайбер: 5000 лет геометрии: математика в истории и культуре, стр. 398.
Теорема Польке–Шварца, Энциклопедия математики.

[1] Г. Пикерт: Vom Satz von Pohlke zur Linearen Algebra , Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, стр. 297–306.

[2] Ульрих Граф, Мартин Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961, ISBN 3-494-00488-9 , стр.144.

[3] Роланд Старк: Darstellende Geometrie , Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , стр.156.

[4] Скленарикова, Зита; Пемова, Марта (2007). «Теорема Польке-Шварца и ее актуальность в дидактике математики» (PDF) . Quaderni di Ricerca в Дидаттике (17). ГРИМ (факультет математики, Университет Палермо, Италия): 155.