Контур Поххаммера

В математике контур Похгаммера , введенный Камиллом Джорданом  (1887) ^[1] и Лео Похгаммером  (1890), представляет собой контур на комплексной плоскости с двумя удаленными точками, используемый для интегрирования контура . Если A и B являются петлями вокруг двух точек, обе из которых начинаются в некоторой фиксированной точке P , то контур Похгаммера представляет собой коммутатор ABA ⁻¹ B ⁻¹ , где верхний индекс −1 обозначает путь, пройденный в противоположном направлении. Если две точки взять за 0 и 1, а фиксированная базовая точка P находится на действительной оси между ними, примером является путь, который начинается в P , охватывает точку 1 против часовой стрелки и возвращается в P , затем охватывает 0 против часовой стрелки и возвращается в P , после этого обходит 1, а затем 0 по часовой стрелке, прежде чем вернуться в P. Класс контура является фактическим коммутатором , когда он рассматривается в фундаментальной группе с базовой точкой P дополнения в комплексной плоскости (или сфере Римана ) двух точек, закольцованных. Когда дело доходит до взятия контурных интегралов, перемещение базовой точки из P в другой выбор Q не влияет на результат, поскольку будет иметь место сокращение интегралов от P до Q и обратно.

В дважды проколотой плоскости эта кривая гомологична нулю, но не гомотопна нулю. Ее число намотки вокруг любой точки равно 0, несмотря на то, что в дважды проколотой плоскости ее нельзя сжать до одной точки.

Бета- функция задается интегралом Эйлера

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt}$

при условии, что действительные части α и β положительны, что может быть преобразовано в интеграл по контуру Похгаммера C как

${\displaystyle \displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha})(1-e^{2\pi i\beta})\mathrm {B} (\alpha,\beta)=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Контурный интеграл сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции. Аналогичный метод можно применить к интегралу Эйлера для гипергеометрической функции, чтобы получить ее аналитическое продолжение.

• Джордан, К. (1887), Курс анализа, Том III, Готье-Виллар
• Поххаммер, Л. (1890), «Zur Theorie der Euler'schen Integrale», Mathematische Annalen , 35 (4): 495–526 , doi : 10.1007/bf02122658
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1963), Курс современного анализа , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2