Плюс строительство

В математике плюс -конструкция — это метод упрощения фундаментальной группы пространства без изменения его групп гомологии и когомологии .

Явно, если — базовый связный CW-комплекс и — совершенная нормальная подгруппа группы , то отображение называется +-конструкцией относительно , ​​если индуцирует изоморфизм на гомологии и — ядро ​​группы . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \пи _{1}(X)}$${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)}$

Конструкция плюс была введена Мишелем Кервером  (1969) и использовалась Дэниелом Квилленом для определения алгебраической K-теории . Дана совершенная нормальная подгруппа фундаментальной группы связного комплекса CW , присоединим двухклеточные элементы вдоль петель, в которых образы в фундаментальной группе генерируют подгруппу. Эта операция обычно изменяет гомологию пространства, но эти изменения можно обратить добавлением трехклеточных элементов.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Наиболее распространенное применение конструкции плюс — в алгебраической K-теории. Если — унитальное кольцо , то мы обозначаем через группу обратимых -на- матриц с элементами из . встраивается в , присоединяя a вдоль диагонали и s в другом месте. Прямой предел этих групп посредством этих отображений обозначается , а его классифицирующее пространство обозначается . Конструкция плюс затем может быть применена к совершенной нормальной подгруппе группы , порожденной матрицами, которые отличаются от единичной матрицы только одним недиагональным элементом. Для , -я гомотопическая группа полученного пространства, , изоморфна -й -группе группы , то есть, ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(R)}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n+1}(R)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)}$${\displaystyle E(R)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (R)=\pi _{1}(B\operatorname {GL} (R))}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B\operatorname {GL} (R)^{+}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle К}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi _{n}\left(B\operatorname {GL} (R)^{+}\right)\cong K_{n}(R).}$

• Полу-с-кобордизм

• Адамс, Дж. Фрэнк (1978), Бесконечные циклические пространства , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , стр. 82–95, ISBN 0-691-08206-5
• Кервер, Мишель А. (1969), «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы», Труды Американского математического общества , 144 : 67–72, doi : 10.2307/1995269 , ISSN  0002-9947, MR  0253347
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр эквивариантного кольца когомологий: I», Annals of Mathematics , вторая серия, 94 (3): 549–572, doi : 10.2307/1970770.
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр эквивариантного кольца когомологий: II», Annals of Mathematics , вторая серия, 94 (3): 573–602, doi :10.2307/1970771.
• Куиллен, Дэниел (1972), «О когомологиях и K-теории общих линейных групп над конечным полем», Annals of Mathematics , Вторая серия, 96 (3): 552–586, doi :10.2307/1970825.

• «Плюс-конструкция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]