Плетистическая замена

Плетистическая подстановка — это сокращенная запись для общего вида подстановки в алгебре симметричных функций и симметричных многочленов . По сути, это базовая подстановка переменных, но допускающая изменение количества используемых переменных.

Формальное определение плетистической подстановки основано на том факте, что кольцо симметричных функций генерируется как R -алгебра степенной суммой симметричных функций${\displaystyle \Лямбда _{R}(x_{1},x_{2},\ldots )}$

${\displaystyle p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+\cdots .}$

Для любой симметричной функции и любой формальной суммы одночленов плетистическая подстановка f[A] представляет собой формальный ряд, полученный путем выполнения подстановок${\displaystyle f}$${\displaystyle A=a_{1}+a_{2}+\cdots }$

${\displaystyle p_{k}\longrightarrow a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots }$

в разложении как полинома по p _k .${\displaystyle f}$

Если обозначает формальную сумму , то .${\displaystyle X}$${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$${\displaystyle f[X]=f(x_{1},x_{2},\ldots )}$

Можно написать для обозначения формальной суммы , и поэтому плетистическая подстановка — это просто результат установки для каждого i. То есть,${\displaystyle 1/(1-t)}$${\displaystyle 1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots }$${\displaystyle f[1/(1-t)]}$${\displaystyle x_{i}=t^{i-1}}$

${\displaystyle f\left[{\frac {1}{1-t}}\right]=f(1,t,t^{2},t^{3},\ldots )}$.

Плетистическую подстановку можно также использовать для изменения числа переменных: если , то — соответствующая симметричная функция в кольце симметричных функций от n переменных.${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots ,x_{n}}$${\displaystyle f[X]=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \Лямбда _{R}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Ниже перечислены несколько других распространенных замен. Во всех следующих примерах и являются формальными суммами.${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$${\displaystyle Y=y_{1}+y_{2}+\cdots }$

• Если — однородная симметричная функция степени , то${\displaystyle f}$${\displaystyle д}$

  ${\displaystyle f[tX]=t^{d}f(x_{1},x_{2},\ldots )}$

• Если — однородная симметричная функция степени , то${\displaystyle f}$${\displaystyle д}$

  ${\displaystyle f[-X]=(-1)^{d}\omega f(x_{1},x_{2},\ldots )}$,

где — известная инволюция симметричных функций, переводящая функцию Шура в сопряженную функцию Шура .${\displaystyle \омега}$ ${\displaystyle s_{\лямбда}}$${\displaystyle s_{\lambda ^{\ast}}}$

• Подстановка является антиподом структуры алгебры Хопфа на кольце симметрических функций .${\displaystyle S:f\mapsto f[-X]}$
• ${\displaystyle p_ {n}[X+Y]=p_ {n}[X]+p_{n}[Y]}$
• Отображение является копроизведением для структуры алгебры Хопфа на кольце симметричных функций.${\displaystyle \Delta :f\mapsto f[X+Y]}$
• ${\displaystyle h_{n}\left[X(1-t)\right]}$— знакопеременный ряд Фробениуса для внешней алгебры определяющего представления симметрической группы, где обозначает полную однородную симметрическую функцию степени .${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle h_{n}\left[X/(1-t)\right]}$— ряд Фробениуса для симметрической алгебры определяющего представления симметрической группы.

• Комбинаторика, симметричные функции и схемы Гильберта (Хайман, 2002)

• М. Хайман, Комбинаторика, симметричные функции и схемы Гильберта, Текущие разработки в математике 2002 , № 1 (2002), стр. 39–111.