Плоская волна

Тип волны, распространяющейся в 3-х измерениях

В физике плоская волна — это частный случай волны или поля : физическая величина, значение которой в любой момент времени постоянно в любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве. [1]

Для любого положения в пространстве и любого времени значение такого поля можно записать как , где — вектор единичной длины , а — функция, которая задает значение поля как зависящее только от двух действительных параметров: времени и скалярного смещения точки вдоль направления . Смещение постоянно в каждой плоскости, перпендикулярной . х → {\displaystyle {\vec {x}}} т {\displaystyle т} Ф ( х → , т ) = Г ( х → ⋅ н → , т ) , {\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),} н → {\displaystyle {\vec {n}}} Г ( г , т ) {\displaystyle G(d,t)} т {\displaystyle т} г = х → ⋅ н → {\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}} х → {\displaystyle {\vec {x}}} н → {\displaystyle {\vec {n}}} н → {\displaystyle {\vec {n}}}

Значения поля могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами , как в комплексной экспоненциальной плоской волне . Ф {\displaystyle F}

Когда значения являются векторами, волна называется продольной, если векторы всегда коллинеарны вектору , и поперечной, если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему. Ф {\displaystyle F} н → {\displaystyle {\vec {n}}}

Специальные типы

Бегущая плоская волна

Волновые фронты плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущей плоской волне , эволюция которой во времени может быть описана как простое перемещение поля с постоянной скоростью волны вдоль направления, перпендикулярного волновым фронтам. Такое поле можно записать как , где теперь является функцией одного действительного параметра , который описывает «профиль» волны, а именно значение поля во времени , для каждого смещения . В этом случае называется направлением распространения . Для каждого смещения движущаяся плоскость, перпендикулярная на расстоянии от начала координат, называется « волновым фронтом ». Эта плоскость движется вдоль направления распространения со скоростью ; и значение поля тогда одинаково и постоянно во времени в каждой из его точек. [2] с {\displaystyle с} Ф ( х → , т ) = Г ( х → ⋅ н → − с т ) {\displaystyle F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,} Г ( ты ) {\displaystyle G(u)} ты = г − с т {\displaystyle u=d-ct} т = 0 {\displaystyle т=0} г = х → ⋅ н → {\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}} н → {\displaystyle {\vec {n}}} г {\displaystyle д} н → {\displaystyle {\vec {n}}} г + с т {\displaystyle d+ct} н → {\displaystyle {\vec {n}}} с {\displaystyle с}

Синусоидальная плоская волна

Термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматической» или синусоидальной плоской волны : бегущей плоской волны, профиль которой является синусоидальной функцией. То есть, параметр , который может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны ; скалярный коэффициент — это ее «пространственная частота»; а скаляр — это ее « фазовый сдвиг ». Г ( ты ) {\displaystyle G(u)} Ф ( х → , т ) = А грех ⁡ ( 2 π ф ( х → ⋅ н → − с т ) + φ ) {\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)} А {\displaystyle А} ф {\displaystyle f} φ {\displaystyle \varphi}

Истинная плоская волна физически не может существовать, поскольку она должна была бы заполнить все пространство. Тем не менее, модель плоской волны важна и широко используется в физике. Волны, испускаемые любым источником с конечной протяженностью в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если рассматривать любую часть этой области, которая достаточно мала по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, со световыми волнами от далекой звезды, которые достигают телескопа.

Плоская стоячая волна

Стоячая волна — это поле, значение которого можно выразить как произведение двух функций, одна из которых зависит только от положения, а другая — только от времени. Плоская стоячая волна, в частности, может быть выражена как , где — функция одного скалярного параметра (смещение ) со скалярными или векторными значениями, а — скалярная функция времени. Ф ( х → , т ) = Г ( х → ⋅ н → ) С ( т ) {\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)} Г {\displaystyle G} г = х → ⋅ н → {\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}} С {\displaystyle S}

Это представление не является уникальным, поскольку одни и те же значения поля получаются, если и масштабируются обратными множителями. Если ограничено в интересующем интервале времени (что обычно имеет место в физических контекстах), и может быть масштабировано так, что максимальное значение равно 1. Тогда будет максимальной величиной поля, наблюдаемой в точке . С {\displaystyle S} Г {\displaystyle G} | С ( т ) | {\displaystyle \left|S(t)\right|} С {\displaystyle S} Г {\displaystyle G} | С ( т ) | {\displaystyle \left|S(t)\right|} | Г ( х → ⋅ н → ) | {\displaystyle \left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|} х → {\displaystyle {\vec {x}}}

Характеристики

Плоскую волну можно изучать, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления ; то есть рассматривая функцию как волну в одномерной среде. н → {\displaystyle {\vec {n}}} Г ( з , т ) = Ф ( з н → , т ) {\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}

Любой локальный оператор, линейный или нет, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с тем же нормальным вектором также является плоской волной. н → {\displaystyle {\vec {n}}}

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ; в частности, , где — частная производная по первому аргументу. н → {\displaystyle {\vec {n}}} ∇ Ф ( х → , т ) = н → ∂ 1 Г ( х → ⋅ н → , т ) {\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t) = {\vec {n}} \partial _ {1}G ({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}, т)} ∂ 1 Г {\displaystyle \partial _{1}G} Г {\displaystyle G}

Расходимость векторнозначной плоской волны зависит только от проекции вектора в направлении . В частности, В частности, поперечная плоская волна удовлетворяет для всех и . Г ( г , т ) {\displaystyle G(d,t)} н → {\displaystyle {\vec {n}}} ∇ ⋅ Ф → ( х → , т ) = н → ⋅ ∂ 1 Г ( х → ⋅ н → , т ) {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)} ∇ ⋅ Ф → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0} х → {\displaystyle {\vec {x}}} т {\displaystyle т}

Смотрите также

Найдите понятие «плоская волна» в Викисловаре, бесплатном словаре.

Ссылки

  1. ^ Бреховских, Л. (1980). Волны в слоистых средах (2-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press . С. 1–3. ISBN 9780323161626.
  2. ^ Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . С. 296. ISBN 9780471309321.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Plane_wave&oldid=1249344633"