Асимптотические значения полиномов Эрмита или Лагерра
Асимптотика Планшереля –Ротаха — это асимптотический результат для ортогональных многочленов . Она названа в честь швейцарских математиков Мишеля Планшереля и его аспиранта Вальтера Ротаха, которые впервые вывели асимптотику для многочлена Эрмита и многочлена Лагерра . В настоящее время асимптотические разложения такого рода для ортогональных многочленов называются асимптотикой Планшереля–Ротаха или асимптотикой типа Планшереля–Ротаха . [1]
Случай для связанного полинома Лагерра был выведен швейцарским математиком Эгоном Мёклином, еще одним аспирантом Планшереля и Джорджа Полиа в Швейцарской высшей технической школе Цюриха . [2]
Многочлены Эрмита Пусть обозначает n-й полином Эрмита. Пусть и положительны и фиксированы, тогда ЧАС н ( х ) {\displaystyle H_{n}(x)} ϵ {\displaystyle \epsilon} ω {\displaystyle \омега}
для и х = ( 2 н + 1 ) 1 / 2 потому что φ {\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cos \varphi } ϵ ≤ φ ≤ π − ϵ {\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \pi - \epsilon} е − х 2 / 2 ЧАС н ( х ) = 2 н / 2 + 1 / 4 ( н ! ) 1 / 2 ( π н ) − 1 / 4 ( грех φ ) − 1 / 2 { грех [ ( н 2 + 1 4 ) ( грех 2 φ − 2 φ ) + 3 π 4 ] + О ( н − 1 ) } {\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_ {n}(x)=2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^ {-1/4}(\sin \varphi )^{-1/2}{\bigg \{}\sin \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1} {4}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(n^{-1}) {\бигг \}}} для и х = ( 2 н + 1 ) 1 / 2 дубинка φ {\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}\cosh \varphi } ϵ ≤ φ ≤ ω {\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega} е − х 2 / 2 ЧАС н ( х ) = 2 н / 2 − 3 / 4 ( н ! ) 1 / 2 ( π н ) − 1 / 4 ( грех φ ) − 1 / 2 эксп [ ( н 2 + 1 4 ) ( 2 φ − грех 2 φ ) ] { 1 + О ( н − 1 ) } {\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_ {n}(x)=2^{n/2-3/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^ {-1/4}(\sinh \varphi )^{-1/2}\exp \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right )(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]{\big \{}1+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\big \}}} для и комплексного и ограниченного х = ( 2 н + 1 ) 1 / 2 − 2 − 1 / 2 3 − 1 / 3 н − 1 / 6 т {\displaystyle x=(2n+1)^{1/2}-2^{-1/2}3^{-1/3}n^{-1/6}t} т {\displaystyle т} е − х 2 / 2 ЧАС н ( х ) = 3 1 / 3 π − 3 / 4 2 н / 2 + 1 / 4 ( н ! ) 1 / 2 н − 1 / 12 { Ай ( т ) + О ( н − 2 / 3 ) } {\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)=3^{1/3}\pi ^{-3/4}2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}n^{-1/12}{\bigg \{}\operatorname {Ai} (t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-{2/3}}\right){\bigg \}}} где обозначает функцию Эйри . [3] Ай {\displaystyle \operatorname {Ai} }
Пусть обозначает n-й ассоциированный полином Лагерра. Пусть будет произвольным и действительным, а будет положительным и фиксированным, тогда Л н ( α ) ( х ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha)}(x)} α {\displaystyle \альфа} ϵ {\displaystyle \epsilon} ω {\displaystyle \омега}
для и х = ( 4 н + 2 α + 2 ) потому что 2 φ {\displaystyle x=(4n+2\альфа +2)\cos ^{2}\varphi } ϵ ≤ φ ≤ π 2 − ϵ н − 1 / 2 {\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq {\tfrac {\pi {2}}-\epsilon n^{-1/2}} е − х / 2 Л н ( α ) ( х ) = ( − 1 ) н ( π грех φ ) − 1 / 2 х − α / 2 − 1 / 4 н α / 2 − 1 / 4 { грех [ ( н + α + 1 2 ) ( грех 2 φ − 2 φ ) + 3 π / 4 ] + ( н х ) − 1 / 2 О ( 1 ) } {\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha)}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi)^{-1/2}x ^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2 }}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \ }}} для и х = ( 4 н + 2 α + 2 ) дубинка 2 φ {\displaystyle x=(4n+2\альфа +2)\cosh ^{2}\varphi } ϵ ≤ φ ≤ ω {\displaystyle \epsilon \leq \varphi \leq \omega} е − х / 2 Л н ( α ) ( х ) = 1 2 ( − 1 ) н ( π грех φ ) − 1 / 2 х − α / 2 − 1 / 4 н α / 2 − 1 / 4 эксп [ ( н + α + 1 2 ) ( 2 φ − грех 2 φ ) ] { 1 + О ( н − 1 ) } {\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}} для и комплексного и ограниченного х = 4 н + 2 α + 2 − 2 ( 2 н / 3 ) 1 / 3 т {\displaystyle x=4n+2\альфа +2-2(2n/3)^{1/3}t} т {\displaystyle т} е − х / 2 Л н ( α ) ( х ) = ( − 1 ) н π − 1 2 − α − 1 / 3 3 1 / 3 н − 1 / 3 { Ай ( т ) + О ( н − 2 / 3 ) } {\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{n}\pi ^{-1}2^{-\alpha -1/3}3^{1/3}n^{-1/3}{\bigg \{}\operatorname {Ai} (t)+{\mathcal {O}}\left(n^{-2/3}\right){\bigg \}}} [3]
Литература Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы . Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1023-5
Ссылки ^ Ротач, Уолтер (1925). Reihenentwicklungen einer willkürlichen Funktion nach Hermite'schen und Laguerre'schen Polynomen (Thesis). ETH Цюрих. doi : 10.3929/ethz-a-000092029. hdl : 20.500.11850/133495. ^ Мёклин, Эгон (1934). Асимптотическое Entwicklungen der Laguerreschen Polynome (Диссертация). ETH Цюрих. doi : 10.3929/ethz-a-000092417. hdl : 20.500.11850/133650. ^ аб Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы . Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 200–201. ISBN 0-8218-1023-5 
![{\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_ {n}(x)=2^{n/2+1/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^ {-1/4}(\sin \varphi )^{-1/2}{\bigg \{}\sin \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1} {4}}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3{\tfrac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(n^{-1}) {\бигг \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5327e7c814aefd0efebaa32294bf2415295a64)
![{\displaystyle e^{-x^{2}/2}H_ {n}(x)=2^{n/2-3/4}(n!)^{1/2}(\pi n)^ {-1/4}(\sinh \varphi )^{-1/2}\exp \left[\left({\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\right )(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]{\big \{}1+{\mathcal {O}}(n^{-1}){\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96365402da3c116bbee8c83a71ecc69f83bc4d)
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha)}(x)=(-1)^{n}(\pi \sin \varphi)^{-1/2}x ^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}{\big \{}\sin \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2 }}\right)(\sin 2\varphi -2\varphi )+3\pi /4\right]+(nx)^{-1/2}{\mathcal {O}}(1){\big \ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6119fe41d5a8158dcb3367e17825744761b19b35)
![{\displaystyle e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(\pi \sinh \varphi )^{-1/2}x^{-\alpha /2-1/4}n^{\alpha /2-1/4}\exp \left[\left(n+{\tfrac {\alpha +1}{2}}\right)(2\varphi -\sinh 2\varphi )\right]\{1+{\mathcal {O}}\left(n^{-1}\right)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b07b923bd08a7f942ce6fec0e9faf5456ab485)
