Защемленный тор

В математике , и особенно в топологии и дифференциальной геометрии , защемленный тор (или круассановая поверхность ) — это вид двумерной поверхности . Свое название она получила из- за сходства с тором , защемленным в одной точке. Защемленный тор — пример ориентируемого компактного двумерного псевдомногообразия . [ ^1]

Сжатый тор легко параметризуем. Запишем g ( x , y ) = 2 + sin( x /2).cos( y ) . Пример такой параметризации − который был использован для построения рисунка − дается формулой ƒ : [0,2π) ² → R ³ , где:

${\displaystyle f(x,y)=\left(g(x,y)\cos x,g(x,y)\sin x,\sin \!\left({\frac {x}{2}}\right)\sin y\right)}$

Топологически сжатый тор гомотопически эквивалентен клину сферы и окружности. ^{[2] [3]} Он гомеоморфен сфере с двумя различными точками, которые отождествляются . ^[2] [ ^3]

Пусть P обозначает защемленный тор. Группы гомологии P по целым числам можно вычислить. Они задаются как:

${\displaystyle H_{0}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\ H_{1}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\ {\text{и}}\ H_{2}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} .}$

Группы когомологий P по целым числам можно вычислить. Они задаются формулой :

${\displaystyle H^{0}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\ H^{1}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,\ {\text{и}}\ H^{2}(P,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} .}$