Закон Пирса

Часть серии статей о
Чарльз Сандерс Пирс
Библиография
Прагматизм в эпистемологии
Абдуктивное рассуждение Фаллибилизм Прагматизм как максима как теория истины Сообщество исследователей
Логика
Непрерывный предикат Закон Пирса Граф сущности в качественной логике Экзистенциальный граф Функциональная полнота Логический вентиль Логика информации Логический граф Логическое НЕ-ИЛИ Логика второго порядка Триконик Различие типа и токена
Семиотическая теория
Индексальность Интерпретатор Семиозис Знаковое отношение Универсальная риторика
Разные вклады
Агапизм Треугольник Белла Категории Фанерон Синехизм Тихизм Классификация наук Номер листинга Квинкунциальная проекция
Биографический
Джозеф Мортон Рэнсделл Аллан Маркванд Джульетта Пирс Чарльз Сантьяго Сандерс Пирс Роберта Кевельсон Кристина Лэдд-Франклин Виктория, леди Уэлби Метафизический клуб книга Геодезический памятник Пирса
в т е

В логике закон Пирса назван в честь философа и логика Чарльза Сандерса Пирса . Он был принят в качестве аксиомы в его первой аксиоматизации пропозициональной логики . Его можно рассматривать как закон исключенного третьего, записанный в форме, которая включает только один вид связок, а именно импликацию .

В исчислении высказываний закон Пирса гласит, что (( P → Q )→ P )→ P. В письменной форме это означает, что P должно быть истинным, если существует высказывание Q такое, что истинность P следует из истинности «если P , то Q ».

Закон Пирса не выполняется в интуиционистской логике или промежуточной логике и не может быть выведен только из теоремы дедукции .

При изоморфизме Карри–Ховарда закон Пирса является типом операторов продолжения , например, call/cc в Scheme . ^[1]

Вот как Пирс сформулировал этот закон:

Пятый значок требуется для принципа исключенного третьего и других предложений, связанных с ним. Одна из простейших формул такого рода:

Это вряд ли аксиоматично. То, что это истинно, проявляется следующим образом. Это может быть ложным только в том случае, если конечный консеквент x является ложным, а его антецедент ( x ⤙ y ) ⤙ x является истинным. Если это истинно, то либо его консеквент x , является истинным, когда вся формула была бы истинной, либо его антецедент x ⤙ y является ложным. Но в последнем случае антецедент x ⤙ y , то есть x , должен быть истинным. (Peirce, the Collected Papers 3.384).

Пирс далее указывает на немедленное применение закона:

Из только что приведённой формулы сразу получаем:

где a используется в таком смысле, что ( x ⤙ y ) ⤙ a означает, что из ( x ⤙ y ) следует каждое предложение. При таком понимании формула устанавливает принцип исключенного третьего, что из ложности отрицания x следует истинность x . (Peirce, the Collected Papers 3.384).

Предупреждение : Как поясняется в тексте, « a » здесь обозначает не пропозициональный атом, а что-то вроде квантифицированной пропозициональной формулы . Формула (( x → y ) → a ) → x не была бы тавтологией, если бы a интерпретировалось как атом.${\displaystyle \forall p\,p}$

В интуиционистской логике, если доказано или отвергнуто, или если доказано верно, то закон Пирса для двух предложений выполняется. Но особый случай закона, когда отвергнуто, называемый consequentia mirabilis , эквивалентен исключенному третьему уже над минимальной логикой . Это также означает, что закон Писа влечет за собой классическую логику над интуиционистской логикой, как также показано ниже. Интуиционистски, даже ограничение не подразумевает закон для двух предложений. Постулирование того, что последнее является верным, приводит к промежуточной логике Сметанича .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \neg Q\to P}$

Полезно рассмотреть закон Пирса в эквивалентной форме . Действительно, из следует , и поэтому эквивалентно . Теперь случай напрямую показывает, как устранение двойного отрицания подразумевает consequentia mirabilis по минимальной логике. ${\displaystyle ((P\to Q)\to (P\land Q))\to P}$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle P\leftrightarrow (P\land Q)}$${\displaystyle (P\to Q)\to P}$${\displaystyle (P\to Q)\to (P\land Q)}$${\displaystyle Q=\бот }$${\displaystyle \neg \neg P\to P}$

В интуиционистской логике взрыв может использоваться для , и поэтому здесь особый случай закона consequentia mirabilis также подразумевает устранение двойного отрицания. Поскольку дважды отрицаемое исключенное среднее всегда уже действительно даже в минимальной логике, это также интуиционистски доказывает исключенное среднее. В другом направлении можно также интуиционистски показать, что исключенное среднее напрямую подразумевает закон Писа. С этой целью отметим, что с помощью принципа взрыва исключенное среднее может быть выражено как . На словах это можно выразить так: «Каждое предложение либо содержит, либо подразумевает любое другое предложение». Теперь, чтобы доказать закон, отметим, что выводится из простого введения импликации с одной стороны и modus ponens с другой. Наконец, вместо consider .${\displaystyle \bot \to (P\land \bot )}$${\displaystyle P\lor (P\to Q)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P\or R)\to ((R\to P)\to P)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P\to Q}$

Другое доказательство закона в классической логике осуществляется путем прохождения через классически допустимый обратный дизъюнктивный силлогизм дважды: Сначала отметим, что подразумевается , что интуиционистски эквивалентно . Теперь взрыв влечет, что подразумевает , а использование исключенного третьего для влечет, что эти два на самом деле эквивалентны. Взятые вместе, это означает, что в классической логике эквивалентно .${\displaystyle \отрицательный \отрицательный P}$${\displaystyle (\neg \neg P\land \neg Q)\lor P}$${\displaystyle \neg (\neg P\lor Q)\lor P}$${\displaystyle \neg A\or B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle А}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P\to Q)\to P}$

Закон Пирса позволяет улучшить технику использования теоремы дедукции для доказательства теорем. Предположим, что дан набор посылок Γ и нужно вывести из них предложение Z. С законом Пирса можно добавить (бесплатно) дополнительные предпосылки вида Z → P к Γ. Например, предположим, что нам даны P → Z и ( P → Q )→ Z и мы хотим вывести Z так, чтобы мы могли использовать теорему дедукции для заключения, что ( P → Z )→((( P → Q )→ Z )→ Z ) является теоремой. Затем мы можем добавить еще одну посылку Z → Q . Из нее и P → Z получаем P → Q . Затем мы применяем modus ponens с ( P → Q )→ Z в качестве большей предпосылки, чтобы получить Z . Применяя теорему дедукции, получаем, что ( Z → Q )→ Z следует из исходных посылок. Затем мы используем закон Пирса в форме (( Z → Q )→ Z )→ Z и modus ponens для вывода Z из исходных посылок. Затем мы можем завершить доказательство теоремы, как и планировали изначально.

Одна из причин, по которой закон Пирса важен, заключается в том, что он может заменить закон исключенного третьего в логике, которая использует только импликацию. Предложения, которые могут быть выведены из схем аксиом:

• П →( Q → П )
• ( П →( Q → Р ))→(( П → Р )→( П → Р ))
• (( П → Q )→ П )→ П
• из P и P → Q вывести Q

(где P , Q , R содержат только «→» в качестве связки) — все тавтологии , которые используют только «→» в качестве связки.

Поскольку закон Пирса подразумевает закон исключенного третьего, он всегда должен быть недействительным в неклассических интуиционистских логиках. Простым явным контрпримером является многозначная логика Гёделя , которая является нечеткой логикой , где значениями истины являются действительные числа от 0 до 1, с материальной импликацией, определяемой следующим образом:

${\displaystyle {\begin{align}u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{align}}}$

и где закон Пирса как формула может быть упрощен до:

${\displaystyle {\begin{align}((u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\u,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{align}}}$

где его всегда истинность эквивалентна утверждению, что u > v подразумевает u = 1, что истинно только если 0 и 1 являются единственными допустимыми значениями. В то же время, однако, выражение никогда не может быть равно нижнему значению истинности логики, и его двойное отрицание всегда истинно.

• Библиография Чарльза Сандерса Пирса

• Пирс, CS, «Об алгебре логики: вклад в философию обозначений», American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Перепечатано, Собрание статей Чарльза Сандерса Пирса 3.359–403 и Сочинения Чарльза С. Пирса: Хронологическое издание 5, 162–190.
• Пирс, CS, Собрание статей Чарльза Сандерса Пирса , тома 1–6, Чарльз Хартшорн и Пол Вайс (ред.), тома 7–8, Артур У. Беркс (ред.), Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1931–1935, 1958.