теорема Пикара

Теорема о области значений аналитической функции

В комплексном анализе великая теорема Пикара и малая теорема Пикара являются связанными теоремами о диапазоне аналитической функции . Они названы в честь Эмиля Пикара .

Теоремы

Малая теорема Пикара: Если функция целая и непостоянная, то множество принимаемых ею значений представляет собой либо всю комплексную плоскость, либо плоскость за вычетом одной точки. ${\ textstyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} }$ ${\textstyle f(z)}$

Набросок доказательства: Первоначальное доказательство Пикара основывалось на свойствах модулярной лямбда-функции , обычно обозначаемой как , и которая, используя современную терминологию, осуществляет голоморфное универсальное покрытие дважды проколотой плоскости единичным кругом. Эта функция явно построена в теории эллиптических функций . Если опускает два значения, то композиция с обратной модулярной функцией отображает плоскость в единичный круг, что подразумевает, что является константой по теореме Лиувилля. ${\textstyle \лямбда}$ ${\textstyle ф}$ ${\textstyle ф}$ ${\textstyle ф}$

Эта теорема является существенным усилением теоремы Лиувилля, которая утверждает, что изображение целой непостоянной функции должно быть неограниченным . Позднее было найдено много различных доказательств теоремы Пикара, а теорема Шоттки является ее количественной версией. В случае, когда значения не содержат одной точки, эта точка называется лакунарным значением функции. ${\textstyle ф}$

Великая теорема Пикара: Если аналитическая функция имеет существенную особенность в точке , то на любой проколотой окрестности принимает все возможные комплексные значения, за исключением максимум одного, бесконечно часто. ${\textstyle ф}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle w,f(z)}$

Это существенное усиление теоремы Казорати–Вейерштрасса , которая гарантирует только то, что область значений является плотной в комплексной плоскости. Результатом Великой теоремы Пикара является то, что любая целая, неполиномиальная функция достигает всех возможных комплексных значений бесконечно часто, максимум с одним исключением. ${\textstyle ф}$

«Единственное исключение» необходимо в обеих теоремах, как показано здесь:

e ^z — целая непостоянная функция, которая никогда не равна 0,
${\textstyle e^{\frac {1}{z}}}$ имеет существенную особенность в 0, но никогда не достигает 0 как значения.

Доказательство

Малая теорема Пикара

Предположим , что — целая функция, которая пропускает два значения и . Рассматривая это, мы можем предположить без потери общности, что и . ${\ textstyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} }$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{1}}$ ${\textstyle {\frac {f(z)-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}}$ ${\textstyle z_{0}=0}$ ${\textstyle z_{1}=1}$

Поскольку односвязно и область значений опускает , f имеет голоморфный логарифм . Пусть будет целой функцией такой, что . Тогда область значений опускает все целые числа. Подобным же образом, используя квадратичную формулу , существует целая функция такая, что . Тогда область значений опускает все комплексные числа вида , где — целое число, а — неотрицательное целое число. ${\textstyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle ф}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle г}$ ${\ textstyle f (z) = e ^ {2 \ pi ig (z)}}$ ${\textstyle г}$ ${\textstyle ч}$ ${\textstyle g(z)=\cos(h(z))}$ ${\textstyle ч}$ ${\textstyle 2\пи н\пм я\кош ^{-1}(м)}$ ${\textstyle н}$ ${\textstyle м}$

По теореме Ландау , если , то для всех область значений содержит круг радиуса . Но сверху, любой достаточно большой круг содержит по крайней мере одно число, которое область значений h пропускает. Поэтому для всех . По основной теореме исчисления , является постоянной, поэтому является постоянной. ${\textstyle h'(w)\neq 0}$ ${\textstyle {R>0}}$ ${\textstyle ч}$ ${\textstyle |h'(w)|R/72}$ ${\textstyle h'(w)=0}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle ч}$ ${\textstyle ф}$

Великая теорема Пикара

Доказательство Великой теоремы Пикара

Предположим, что f — аналитическая функция на проколотом диске радиуса r вокруг точки w , и что f пропускает два значения z ₀ и z _1. Рассматривая ( f ( p + rz ) − z ₀ )/( z ₁ − z ₀ ), мы можем предположить без потери общности, что z ₀ = 0, z ₁ = 1, w = 0 и r = 1.

Функция F ( z ) = f ( e ^{− z} ) аналитична в правой полуплоскости Re( z ) > 0. Поскольку правая полуплоскость односвязна, аналогично доказательству теоремы Малого Пикара, существуют аналитические функции G и H, определенные в правой полуплоскости, такие, что F ( z ) = e ^{2π iG ( z )} и G ( z ) = cos( H ( z )). Для любого w в правой полуплоскости открытый круг с радиусом Re( w ) вокруг w содержится в области определения H . По теореме Ландау и наблюдению о диапазоне значений H в доказательстве теоремы Малого Пикара существует константа C > 0 такая, что | H ′( w )| ≤ C / Re( w ). Таким образом, для всех действительных чисел x ≥ 2 и 0 ≤ y ≤ 2π,

|H(x+iy)|=\left|H(2+iy)+\int _{2}^{x}H'(t+iy)\,\mathrm {d} t\right|\leq |H(2+iy)|+\int _{2}^{x}{\frac {C}{t}}\,\mathrm {d} t\leq A\log x,

где A > 0 — константа. Поэтому | G ( x + iy )| ≤ x ^A .

Далее, мы замечаем, что F ( z + 2π i ) = F ( z ) в правой полуплоскости, что подразумевает, что G ( z + 2π i ) − G ( z ) всегда является целым числом. Поскольку G непрерывна и ее область определения связна , разность G ( z + 2π i ) − G ( z ) = k является константой. Другими словами, функция G ( z ) − kz / (2π i ) имеет период 2π i . Таким образом, существует аналитическая функция g , определенная в проколотом диске с радиусом e ⁻² вокруг 0, такая, что G ( z ) − kz / (2π i ) = g ( e ^{− z} ).

Используя границу для G выше, для всех действительных чисел x ≥ 2 и 0 ≤ y ≤ 2π,

\left|G(x+iy)-{\frac {k(x+iy)}{2\pi i}}\right|\leq x^{A}+{\frac {|k|}{2\pi }}(x+2\pi )\leq C'x^{A'}

выполняется, где A ′ > A и C ′ > 0 — константы. Из-за периодичности эта граница фактически выполняется для всех y . Таким образом, мы имеем границу | g ( z )| ≤ C ′(−log| z |) ^{A ′} для 0 < | z | < e ⁻² . По теореме Римана об устранимых особенностях g продолжается до аналитической функции в открытом круге радиуса e ⁻² вокруг 0.

Следовательно, G ( z ) − kz / (2π i ) ограничена на полуплоскости Re( z ) ≥ 3. Поэтому F ( z ) e ^{− kz} ограничена на полуплоскости Re( z ) ≥ 3, а f ( z ) z ^k ограничена в проколотом круге радиуса e ⁻³ вокруг 0. По теореме Римана об устранимых особенностях f ( z ) z ^k продолжается до аналитической функции в открытом круге радиуса e ⁻³ вокруг 0. Следовательно, f не имеет существенной особенности в 0.

Следовательно, если функция f имеет существенную особенность в 0, область действия f в любом открытом круге вокруг 0 пропускает не более одного значения. Если f принимает значение только конечное число раз, то в достаточно малом открытом круге вокруг 0 f пропускает это значение. Таким образом, f ( z ) принимает все возможные комплексные значения, за исключением не более одного, бесконечно часто.

Обобщение и текущие исследования

Великая теорема Пикара верна в несколько более общей форме, которая применима также к мероморфным функциям :

Великая теорема Пикара (мероморфная версия): если M — риманова поверхность , w — точка на M , P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} обозначает сферу Римана и f : M \{ w } → P ¹ ( C ) — голоморфная функция с существенной особенностью в точке w , то на любом открытом подмножестве M , содержащем w , функция f ( z ) достигает всех, кроме двух точек P ¹ ( C ), бесконечно часто.

Пример: Функция f ( z ) = 1/(1 − e ^{1/ z} ) мероморфна на C* = C - {0}, комплексной плоскости с удаленным началом координат. Она имеет существенную особенность при z = 0 и достигает значения ∞ бесконечно часто в любой окрестности 0; однако она не достигает значений 0 или 1.

При таком обобщении Малая теорема Пикара следует из Большой теоремы Пикара , поскольку целая функция либо является полиномом, либо имеет существенную особенность на бесконечности. Как и в случае с Малой теоремой, (максимум две) точки, которые не достигаются, являются лакунарными значениями функции.

Следующая гипотеза связана с «Великой теоремой Пикара»: ^[1]

Гипотеза: Пусть { U ₁ , ..., U _n } — набор открытых связных подмножеств C , покрывающих проколотый единичный диск D \ {0}. Предположим, что на каждом U _j существует инъективная голоморфная функция f _j , такая, что d f _j = d f _k на каждом пересечении U _j ∩ U _k . Тогда дифференциалы склеиваются в мероморфную 1- форму на D .

Ясно, что дифференциалы склеиваются в голоморфную 1-форму g d z на D \ {0}. В частном случае, когда вычет g в 0 равен нулю , гипотеза следует из «Великой теоремы Пикара».

Примечания

^ Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .

Ссылки

Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Шурман, Джерри. "Набросок теоремы Пикара" (PDF) . Получено 2010-05-18 .

[1] Элснер, Б. (1999). «Гиперэллиптический интеграл действия» (PDF) . Анналы Института Фурье . 49 (1): 303–331. дои : 10.5802/aif.1675 .