Поверхность Пеано
Модель поверхности Пеано из коллекции Дрездена

В математике поверхность Пеано — это график функции двух переменных

ф ( х , у ) = ( 2 х 2 − у ) ( у − х 2 ) . {\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2}).}

Он был предложен Джузеппе Пеано в 1899 году как контрпример к предполагаемому критерию существования максимумов и минимумов функций двух переменных. [1] [2]

Поверхность была названа поверхностью Пеано ( нем . Peanosche Fläche ) Георгом Шефферсом в его книге 1920 года Lehrbuch der darstellenden Geometrie . [1] [3] Его также называют седлом Пеано . [4] [5]

Характеристики

Поверхность Пеано и ее кривые уровня для уровня 0 (параболы, зеленые и фиолетовые)

Функция , графиком которой является поверхность, принимает положительные значения между двумя параболами и и отрицательные значения в других местах (см. диаграмму). В начале координат , трехмерной точке на поверхности, которая соответствует точке пересечения двух парабол, поверхность имеет седловую точку . [6] Сама поверхность имеет положительную гауссову кривизну в некоторых частях и отрицательную кривизну в других, разделенных другой параболой, [4] [5] подразумевая, что ее отображение Гаусса имеет точку возврата Уитни . [5] ф ( х , у ) = ( 2 х 2 − у ) ( у − х 2 ) {\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2})} у = х 2 {\displaystyle y=x^{2}} у = 2 х 2 {\displaystyle y=2x^{2}} ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)}

Пересечение поверхности Пеано с вертикальной плоскостью. Кривая пересечения имеет локальный максимум в начале координат, справа от изображения, и глобальный максимум слева от изображения, полого опускаясь между этими двумя точками.

Хотя поверхность не имеет локального максимума в начале координат, ее пересечение с любой вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат (плоскостью с уравнением или ), является кривой, которая имеет локальный максимум в начале координат, [1] свойство, описанное Эрлом Рэймондом Хедриком как «парадоксальное». [7] Другими словами, если точка начинается в начале координат плоскости и удаляется от начала координат по любой прямой линии, значение будет уменьшаться в начале движения. Тем не менее, не является локальным максимумом функции, поскольку перемещение по параболе, такой как (на диаграмме: красная), приведет к увеличению значения функции. у = м х {\displaystyle y=mx} х = 0 {\displaystyle x=0} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ( 2 х 2 − у ) ( у − х 2 ) {\displaystyle (2x^{2}-y)(yx^{2})} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} у = 2 х 2 {\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}

Поверхность Пеано является поверхностью четвертого порядка .

В качестве контрпримера

В 1886 году Джозеф Альфред Серрет опубликовал учебник [8] с предложенным критерием для экстремальных точек поверхности, заданной формулой з = ф ( х 0 + час , у 0 + к ) {\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}

«максимум или минимум имеет место, когда для значений и , при которых и (третий и четвертый члены) обращаются в нуль, (пятый член) имеет постоянно знак − или знак +». час {\displaystyle ч} к {\displaystyle к} г 2 ф {\displaystyle d^{2}f} г 3 ф {\displaystyle d^{3}f} г 4 ф {\displaystyle d^{4}f}

Здесь предполагается, что линейные члены равны нулю, а ряд Тейлора имеет вид , где — квадратичная форма типа , — кубическая форма с кубическими членами по и , а — форма четвертой степени с однородным полиномом четвертой степени по и . Серре предполагает, что если имеет постоянный знак для всех точек, где , то существует локальный максимум или минимум поверхности при . ф {\displaystyle f} з = ф ( х 0 , у 0 ) + В ( час , к ) + С ( час , к ) + Ф ( час , к ) + ⋯ {\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots } В ( час , к ) {\displaystyle Q(h,k)} а час 2 + б час к + с к 2 {\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}} С ( час , к ) {\displaystyle C(h,k)} час {\displaystyle ч} к {\displaystyle к} Ф ( час , к ) {\displaystyle F(h,k)} час {\displaystyle ч} к {\displaystyle к} Ф ( час , к ) {\displaystyle F(h,k)} В ( час , к ) = С ( час , к ) = 0 {\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0} ( х 0 , у 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})}

В своих заметках 1884 года к итальянскому учебнику по исчислению Анджело Дженокки Calcolo Differentenziale e Principii di Calcolo Integrale Пеано уже предоставил различные правильные условия для достижения функцией локального минимума или локального максимума. [1] [9] В немецком переводе того же учебника 1899 года он предоставил эту поверхность в качестве контрпримера к условию Серрета. В точке условия Серрета выполняются, но эта точка является седловой точкой, а не локальным максимумом. [1] [2] Связанное с условием Серрета условие также критиковал Людвиг Шеффер , который использовал поверхность Пеано в качестве контрпримера к нему в публикации 1890 года, приписываемой Пеано. [6] [10] ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)}

Модели

Модели поверхности Пеано включены в Гёттингенскую коллекцию математических моделей и инструментов в Гёттингенском университете [ 11] и в коллекцию математических моделей Технического университета Дрездена (в двух различных моделях). [12] Гёттингенская модель была первой новой моделью, добавленной в коллекцию после Первой мировой войны , и одной из последних, добавленных в коллекцию в целом. [6]

Ссылки

  1. ^ abcde Эмч, Арнольд (1922). «Модель для поверхности Пеано». American Mathematical Monthly . 29 (10): 388–391. doi :10.1080/00029890.1922.11986180. JSTOR  2299024. MR  1520111.
  2. ^ аб Дженокки, Анджело (1899). Пеано, Джузеппе (ред.). Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер. п. 332.
  3. ^ Шефферс, Георг (1920). «427. Die Peanosche Fläche». Lehrbuch der darstellenden Geometrie (на немецком языке). Том. II. стр. 261–263.
  4. ^ ab Кривошапко, СН; Иванов, ВН (2015). «Седловые поверхности». Энциклопедия аналитических поверхностей . Springer. стр. 561–565. doi :10.1007/978-3-319-11773-7_33.См. особенно раздел «Седло Пеано», стр. 562–563.
  5. ^ abc Фрэнсис, Джордж К. (1987). Топологическая иллюстрированная книга . Springer-Verlag, Нью-Йорк. стр. 88. ISBN 0-387-96426-6. МР  0880519.
  6. ^ abc Фишер, Герд, ред. (2017). Математические модели: из коллекций университетов и музеев – Фототом и комментарии (2-е изд.). doi :10.1007/978-3-658-18865-8. ISBN 978-3-658-18864-1.См., в частности, Предисловие (стр. xiii) для истории Гёттингенской модели, Фото 122 «Penosche Fläsche / Поверхность Пеано» (стр. 119) и Главу 7, Функции, Юрген Лейтерер (перевод Р. Бюркеля), раздел 1.2, «Поверхность Пеано (фото 122)», стр. 202–203, для обзора ее математики.
  7. ^ Хедрик, Э. Р. (июль 1907 г.). «Особенный пример в минимумах поверхностей». Annals of Mathematics . Вторая серия. 8 (4): 172–174. doi :10.2307/1967821. JSTOR  1967821.
  8. ^ Серрет, JA (1886). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том. 1 (3-е изд.). Париж. п. 216 – через Интернет-архив.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  9. ^ Дженокки, Анджело (1884). «Массими и минимизированные функции большего количества переменных». В Пеано, Джузеппе (ред.). Дифференциальный расчет и принципы интегрального расчета (на итальянском языке). Фрателли Бокка . стр. 195–203.
  10. ^ Шеффер, Людвиг (декабрь 1890 г.). «Теория максимумов и минимумов и функция zwei Variabeln». Mathematische Annalen (на немецком языке). 35 (4): 541–576. дои : 10.1007/bf02122660. S2CID  122837827.См. в частности стр. 545–546.
  11. ^ "Peano Surface". Гёттингенская коллекция математических моделей и инструментов . Гёттингенский университет . Получено 13 июля 2020 г.
  12. ^ Модель 39, «Peanosche Fläche, geschichtet» и модель 40, «Peanosche Fläche», Mathematische Modelle, TU Dresden , получено 13 июля 2020 г.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Peano_surface&oldid=1252522836"