Теорема ядра Пеано
Математическая теорема, используемая в численном анализе

В численном анализе теорема о ядре Пеано является общим результатом об оценках погрешности для широкого класса числовых приближений (таких как числовые квадратуры ), определяемых в терминах линейных функционалов . Она приписывается Джузеппе Пеано . [1]

Заявление

Пусть будет пространством всех функций , дифференцируемых на , имеющих ограниченную вариацию на , и пусть будет линейным функционалом на . Предположим, что это аннулирует все полиномы степени , т.е. Предположим далее, что для любой двумерной функции с справедливо следующее: и определим ядро ​​Пеано как , используя обозначение Теорема о ядре Пеано [1] [2] утверждает, что если , то для любой функции , которая непрерывно дифференцируема по времени , мы имеем В [ а , б ] {\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]} ф {\displaystyle f} ( а , б ) {\displaystyle (а,б)} [ а , б ] {\displaystyle [а,б]} Л {\displaystyle L} В [ а , б ] {\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]} Л {\displaystyle L} ≤ ν {\displaystyle \leq \nu } Л п = 0 , ∀ п ∈ П ν [ х ] . {\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].} г ( х , θ ) {\displaystyle g(x,\theta)} г ( х , ⋅ ) , г ( ⋅ , θ ) ∈ С ν + 1 [ а , б ] {\displaystyle g(x,\cdot),\,g(\cdot,\theta)\in C^{\nu +1}[a,b]} Л ∫ а б г ( х , θ ) г θ = ∫ а б Л г ( х , θ ) г θ , {\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta)\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta)\,d\theta,} Л {\displaystyle L} к ( θ ) = Л [ ( х − θ ) + ν ] , θ ∈ [ а , б ] , {\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],} ( х − θ ) + ν = { ( х − θ ) ν , х ≥ θ , 0 , х ≤ θ . {\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}} к ∈ В [ а , б ] {\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]} ф {\displaystyle f} ν + 1 {\textstyle \nu +1} Л ф = 1 ν ! ∫ а б к ( θ ) ф ( ν + 1 ) ( θ ) г θ . {\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}

Границы

Из этого результата следует несколько ограничений на значение : Л ф {\displaystyle Лф} | Л ф | ≤ 1 ν ! ‖ к ‖ 1 ‖ ф ( ν + 1 ) ‖ ∞ | Л ф | ≤ 1 ν ! ‖ к ‖ ∞ ‖ ф ( ν + 1 ) ‖ 1 | Л ф | ≤ 1 ν ! ‖ к ‖ 2 ‖ ф ( ν + 1 ) ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\| _{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{aligned}}}

где , и — таксомоторная , евклидова и максимальная нормы соответственно. [2] ‖ ⋅ ‖ 1 {\displaystyle \|\cdot \|_{1}} ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{2}} ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_ {\infty }}

Приложение

На практике основное применение теоремы Пеано о ядре заключается в ограничении погрешности приближения, точного для всех . Теорема выше следует из полинома Тейлора для с интегральным остатком: ф ∈ П ν {\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }} ф {\displaystyle f}

ф ( х ) = ф ( а ) + ( х − а ) ф ′ ( а ) + ( х − а ) 2 2 ф ″ ( а ) + ⋯ ⋯ + ( х − а ) ν ν ! ф ( ν ) ( а ) + 1 ν ! ∫ а х ( х − θ ) ν ф ( ν + 1 ) ( θ ) г θ , {\displaystyle {\begin{align}f(x)=f(a)+{}&(xa)f'(a)+{\frac {(xa)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(xa)^{\nu }}{\nu !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{align}}}

определив как ошибку приближения, используя линейность вместе с точностью для аннулирования всех членов, кроме последнего, в правой части, и используя обозначение для удаления -зависимости из интегральных пределов. [3] Л ( ф ) {\displaystyle L(ф)} Л {\displaystyle L} ф ∈ П ν {\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }} ( ⋅ ) + {\displaystyle (\cdot)_{+}} х {\displaystyle x}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Ridgway Scott, L. (2011). Численный анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 209. ISBN 9780691146867. OCLC  679940621.
  2. ^ ab Iserles, Arieh (2009). Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. С. 443–444. ISBN 9780521734905. OCLC  277275036.
  3. ^ Исерлес, Арье (1997). "Численный анализ" (PDF) . Получено 2018-08-09 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Peano_kernel_theorem&oldid=1148501786"