Интерполяция Парето

Интерполяция Парето — это метод оценки медианы и других свойств населения, который следует распределению Парето . Он используется в экономике при анализе распределения доходов в населении, когда необходимо основывать оценки на относительно небольшой случайной выборке , взятой из населения.

Семейство распределений Парето параметризуется следующим образом:

• положительное число κ, которое является наименьшим значением, которое может принимать случайная величина с распределением Парето. Применительно к распределению доходов, κ является наименьшим доходом любого человека в популяции; и
• положительное число θ - "индекс Парето"; по мере его увеличения хвост распределения становится тоньше. Применительно к распределению доходов это означает, что чем больше значение индекса Парето θ, тем меньше доля доходов, во много раз превышающих самые маленькие доходы.

Интерполяция Парето может использоваться, когда доступная информация включает долю выборки, которая находится ниже каждого из двух указанных чисел a < b . Например, можно заметить, что 45% людей в выборке имеют доход ниже a = 35 000 долларов в год, а 55% имеют доход ниже b = 40 000 долларов в год.

Позволять

P _a = доля выборки, которая лежит ниже a ;

P _b = доля выборки, которая лежит ниже b .

Тогда оценки κ и θ равны

${\displaystyle {\widehat {\kappa }}=\left({\frac {P_{b}-P_{a}}{\left(1/a^{\widehat {\theta }}\right)-\left(1/b^{\widehat {\theta }}\right)}}\right)^{1/{\widehat {\theta }}}}$

и

${\displaystyle {\widehat {\theta }}\;=\;{\frac {\log(1-P_{a})-\log(1-P_{b})}{\log(b)-\log(a)}}.}$

Тогда оценка медианы будет равна

${\displaystyle {\mbox{оцененная медиана}}={\widehat {\kappa }}\cdot 2^{1/{\widehat {\theta }}},\,}$

поскольку фактическая медиана населения составляет

${\displaystyle {\mbox{медиана}}=\каппа \,2^{1/\тета }.\,}$

• Бюро переписи населения США, Меморандум о статистических методах, использованных в обследовании доходов 2001 года (PDF). См. уравнение 10 на стр. 24.
• Стульц, Брайан Дж., Вывод медианного дохода домохозяйства. Дает вывод уравнений для интерполяции Парето.