ПГ(3,2)
Наименьшее 3D проективное пространство
PG(3, 2) изображен в виде тетраэдра (см. § Тетраэдрическое изображение )

В конечной геометрии PG (3, 2) — наименьшее трехмерное проективное пространство . Его можно рассматривать как расширение плоскости Фано . Оно имеет 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей. [1] Оно также обладает следующими свойствами: [2]

  • Каждая точка содержится в 7 прямых и 7 плоскостях.
  • Каждая линия содержится в 3 плоскостях и содержит 3 точки.
  • Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 прямых.
  • Каждая плоскость изоморфна плоскости Фано.
  • Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой.
  • Прямая и плоскость, не содержащая прямую, пересекаются ровно в одной точке.

Конструкции

Строительство изК6

Возьмем полный граф K 6 . Он имеет 15 ребер, 15 совершенных паросочетаний и 20 треугольников. Создадим точку для каждого из 15 ребер и линию для каждого из 20 треугольников и 15 паросочетаний. Структура инцидентности между каждым треугольником или паросочетанием (линией) и его тремя составными ребрами (точками) индуцирует PG(3, 2) .

Строительство из самолетов Фано

Возьмите плоскость Фано и примените все 5040 перестановок ее 7 точек. Отбросьте дублирующие плоскости, чтобы получить набор из 30 различных плоскостей Фано. Выберите любую из 30 и выберите 14 других, которые имеют ровно одну общую линию с первой, а не 0 или 3. Структура инцидентности между 1 + 14 = 15 плоскостями Фано и 35 триплетами, которые они взаимно покрывают, индуцирует PG(3, 2) . [3]

Представления

Тетраэдрическое изображение

PG(3, 2) можно представить как тетраэдр . 15 точек соответствуют 4 вершинам + 6 серединам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тела. 35 линий соответствуют 6 ребрам + 12 медианам граней + 4 вписанным окружностям граней + 4 высотам от грани до противоположной вершины + 3 линии, соединяющие середины противоположных ребер + 6 эллипсов, соединяющих каждую середину ребра с двумя несоседними центрами граней. 15 плоскостей состоят из 4 граней + 6 «срединных» плоскостей, соединяющих каждое ребро со средней точкой противоположного ребра + 4 «конуса», соединяющих каждую вершину с вписанной окружностью противоположной грани + одна «сфера» с 6 центрами ребер и центром тела. Это было описано Буркардом Польстером . [4] Тетраэдрическое изображение имеет ту же структуру, что и визуальное представление таблицы умножения для седенионов . [5]

Квадратное представление

Квадратная модель Фано 3-х пространственный
Иллюстрация структуры PG(3,2), которая обеспечивает закон умножения для седенионов , как показано Санигой, Холвеком и Пракной (2015). Любые три точки (представляющие три мнимые единицы седениона), лежащие на одной прямой, таковы, что произведение двух из них дает третью, знак не учитывается.

PG(3, 2) можно представить в виде квадрата. 15 точкам назначаются 4-битные двоичные координаты от 0001 до 1111, дополненные точкой с меткой 0000, и они располагаются в сетке 4×4. Линии соответствуют классам эквивалентности наборов из четырех вершин, которые выполняют операцию XOR вместе с 0000. При определенных расположениях вершин в сетке 4×4, таких как «естественный» порядок по строкам или порядок карты Карно , линии образуют симметричные подструктуры, такие как строки, столбцы, трансверсали или прямоугольники, как показано на рисунке. (Существует 20160 таких упорядочений, как показано ниже в разделе об автоморфизмах.) Это представление возможно, поскольку геометрически 35 прямых представлены как биекция с 35 способами разбиения аффинного пространства 4×4 на 4 параллельные плоскости по 4 ячейки в каждой. Это было описано Стивеном Х. Каллинаном.

Изображение салфетки

Салфетка. Это также изображение строго регулярного графа srg(15,6,1,3), нарисованного с перекрывающимися ребрами.

Диаграмма Доули, часто используемая для представления обобщенного четырехугольника GQ(2, 2), также используется для представления PG(3, 2) . Это было описано Ричардом Доули. [2]

Проблема школьницы Киркмана

PG(3, 2) возникает как фон в некоторых решениях проблемы школьницы Киркмана . Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть встроены как структуры в 3-пространство Фано. В частности, разброс PG (3, 2) является разбиением точек на непересекающиеся прямые и соответствует расположению девушек (точек) в непересекающиеся ряды (линии разброса ) для одного дня проблемы школьницы Киркмана. Существует 56 различных разбросов по 5 линий каждый. Упаковка PG (3, 2) является разбиением 35 линий на 7 непересекающихся разбросов по 5 линий каждый и соответствует решению для всех семи дней. Существует 240 упаковок PG(3, 2) , которые попадают в два класса сопряженности по 120 под действием PGL(4, 2) (группа коллинеации пространства); корреляция меняет местами эти два класса. [6]

Автоморфизмы

Группа автоморфизмов PG (3, 2) отображает прямые в прямые. Количество автоморфизмов определяется путем нахождения количества способов выбора 4 точек, которые не являются копланарными; это дает 15⋅14⋅12⋅8 = 20160 = 8!/2. Оказывается, группа автоморфизмов PG(3, 2) изоморфна знакопеременной группе на 8 элементах A 8 .

Координаты

Известно, что PG( n , 2) можно скоординировать с (GF(2)) n +1 , т.е. битовой строкой длины n + 1. Поэтому PG(3, 2) можно скоординировать с 4-битовыми строками.

Кроме того, линии, соединяющей точки ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) и ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ), можно естественным образом присвоить координаты Плюккера ( p 12 , p 13 , p 14 , p 23 , p 24 , p 34 ) , где p ij = a i b j − a j b i , а координаты линии удовлетворяют p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 . Таким образом, каждая линия в проективном 3-мерном пространстве имеет шесть координат и может быть представлена ​​как точка в проективном 5-мерном пространстве; точки лежат на поверхности p 12 p 34 + p 13 p 24 + p 14 p 23 = 0 .

Примечания

  1. ^ Месерв 1983, стр. 29
  2. ^ ab Polster 1998, стр. 69
  3. ^ Польстер 1998, стр. 77
  4. ↑ Польстер 1998, стр. 82–83.
  5. ^ Лохмус, Паал и Зоргсепп 1994, стр. 139
  6. ^ Хиршфельд 1985, стр. 73

Ссылки

  • Фано, Г. (1892), «Sui postulati Fondamentali della Geometria Proiettiva», Giornale di Matematiche , 30 : 106–132 .
  • Лохмус, Яак; Паал, Юджин; Соргсепп, Лео (1994). Неассоциативные алгебры в физике . Палм-Харбор, Флорида: Hadronic Press. ISBN 0-911767-71-1.
  • Месерв, Брюс Э. (1983) [1955]. Основные понятия геометрии . Дувр. ISBN 0-486-63415-9.
  • Hirschfeld, JWP (1985). Конечные проективные пространства трех измерений . Oxford University Press . ISBN 0-19-853536-8.
  • Польстер, Буркард (1998). Книга с геометрическими картинками . Спрингер. ISBN 978-0-387-98437-7.
  • Saniga, Metod; Holweck, Frédéric; Pracna, Petr (2015). «От алгебр Кэли-Диксона до комбинаторных грассманианов». Математика . 3 (4). MDPI AG: 1192– 1221. arXiv : 1405.6888 . doi : 10.3390/math3041192 . ISSN  2227-7390.  В данной статье использован текст из этого источника, доступный по лицензии CC BY 4.0.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=PG(3,2)&oldid=1269857186"