p-адически замкнутое поле

В математике p - адически замкнутое поле — это поле , которое обладает свойством замыкания, которое является близким аналогом для p -адических полей того, чем является вещественное замыкание для вещественного поля . Они были введены Джеймсом Эксом и Саймоном Б. Кохеном в 1965 году ^{. [1]}

Пусть будет полем рациональных чисел и будет его обычной -адической оценкой (с ). Если является (не обязательно алгебраическим) полем расширения , само снабженным оценкой , мы говорим, что является формально p -адическим, когда выполняются следующие условия:${\displaystyle К}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v(p)=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle К}$${\displaystyle w}$${\displaystyle (F,w)}$

• ${\displaystyle w}$распространяется (то есть для всех ),${\displaystyle v}$${\displaystyle w(x)=v(x)}$${\displaystyle x\in K}$
• поле вычетов совпадает с полем вычетов (поле вычетов является отношением кольца нормирования к его максимальному идеалу ),${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \{x\in F:w(x)\geq 0\}}$ ${\displaystyle \{x\in F:w(x)>0\}}$
• наименьшее положительное значение совпадает с наименьшим положительным значением (а именно 1, поскольку v считалось нормализованным): другими словами, униформизатор для остается униформизатором для .${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$

(Обратите внимание, что группа значений K может быть больше, чем у F, поскольку она может содержать бесконечно большие элементы по сравнению с последней.)

Формально p -адические поля можно рассматривать как аналог формально вещественных полей.

Например, поле (i) гауссовых рациональных чисел , если снабжено оценкой w, заданной (и ), является формально 5-адическим (место v = 5 рациональных чисел разделяется на два места гауссовых рациональных чисел, поскольку факторизует поле вычетов с 5 элементами, и w является одним из этих мест). Поле 5-адических чисел (которое содержит как рациональные числа, так и гауссовские рациональные числа, вложенные в соответствии с местом w ) также является формально 5-адическим. С другой стороны, поле гауссовых рациональных чисел формально не является 3-адическим для любой оценки, потому что единственная оценка w на нем, которая расширяет 3-адическую оценку, задается как и его поле вычетов имеет 9 элементов.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle w(2+i)=1}$${\displaystyle w(2-i)=0}$${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle w(3)=1}$

Когда F формально p -адическое, но не существует собственного алгебраического формально p -адического расширения F , то говорят, что F p -адически замкнуто . Например, поле p -адических чисел p -адически замкнуто, и алгебраическое замыкание рациональных чисел внутри него (поле p -адических алгебраических чисел) также является p -адически замкнутым.

Если F p - адически замкнуто, то: ^[2]

• существует единственная оценка w для F, которая делает F p -адически замкнутым (поэтому можно сказать, что F , а не пара , является p -адически замкнутым),${\displaystyle (F,w)}$
• F является гензелевым относительно этого места (то есть его оценочное кольцо таково),
• кольцо оценки F — это в точности образ оператора Кохена (см. ниже),
• группа значений F является расширением (группы значений K ) делимой группы с лексикографическим порядком .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Первое утверждение является аналогом того факта, что порядок действительно замкнутого поля однозначно определяется алгебраической структурой.

Определения, данные выше, можно скопировать в более общий контекст: если K — это поле, снабженное оценкой v, такой что

• поле вычетов K конечно (назовем q его кардинальным числом, а p — его характеристикой),
• группа значений v допускает наименьший положительный элемент (назовем его 1 и скажем, что π является униформизатором, т.е. ),${\displaystyle v(\pi )=1}$
• K имеет конечное абсолютное ветвление, т.е. является конечным (то есть конечным кратным ),${\displaystyle v(p)}$${\displaystyle v(\pi )=1}$

(эти гипотезы выполняются для поля рациональных чисел, где q =π= p — простое число, имеющее оценку 1), то мы можем говорить о формально v -адических полях (или -адических, если — идеал, соответствующий v ) и v -адически полных полях.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Если K — поле, снабженное оценкой v, удовлетворяющей гипотезе, и обозначениями, введенными в предыдущем абзаце, определим оператор Кохена следующим образом:

${\displaystyle \gamma (z)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {z^{q}-z}{(z^{q}-z)^{2}-1}}}$

(когда ). Легко проверить, что всегда имеет неотрицательную оценку. Оператор Кохена можно рассматривать как p -адический (или v -адический) аналог квадратной функции в вещественном случае.${\displaystyle z^{q}-z\neq \pm 1}$${\displaystyle \gamma (z)}$

Поле расширения F поля K формально v -адическое тогда и только тогда, когда не принадлежит подкольцу, порожденному над кольцом значений поля K образом оператора Кохена на F. Это аналог утверждения (или определения), что поле формально действительно, когда не является суммой квадратов.${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}$${\displaystyle -1}$

Теория первого порядка p -адически замкнутых полей (здесь мы ограничиваемся p -адическим случаем, т. е. K - поле рациональных чисел, а v - p -адическое оценивание) является полной и модельно полной , и если мы немного обогатим язык, то он допускает устранение кванторов . Таким образом, можно определить p -адически замкнутые поля как те, чья теория первого порядка элементарно эквивалентна теории .${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• Ax, James; Kochen, Simon (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями. II. Полный набор аксиом для 𝑝-адической теории чисел». Amer. J. Math . 87 (3). The Johns Hopkins University Press: 631–648. doi :10.2307/2373066. JSTOR  2373066.
• Кохен, Саймон (1969). «Целочисленные рациональные функции над 𝑝-адическими числами: 𝑝-адический аналог теории действительных полей». Теория чисел (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XII, Хьюстон, Техас, 1967) . Американское математическое общество. стр. 57–73.
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], "p-адически замкнутое поле", Энциклопедия математики , EMS Press , получено 2009-02-03
• Джарден, Моше; Рокетт, Питер (1980). «Нульстеллензац над 𝔭-адически замкнутыми полями». Дж. Математика. Соц. Япония . 32 (3): 425–460. дои : 10.2969/jmsj/03230425 .