Группа Pro-p

В математике про -p группа (для некоторого простого числа p ) - это проконечная группа , такая что для любой открытой нормальной подгруппы факторгруппа является p -группой . Обратите внимание, что, поскольку проконечные группы компактны , открытые подгруппы - это в точности замкнутые подгруппы конечного индекса , так что дискретная факторгруппа всегда конечна.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\triangleleft G}$ ${\displaystyle Г/Н}$

Альтернативно, можно определить про- p -группу как обратный предел обратной системы дискретных конечных p -групп.

Наиболее изученным (и исторически наиболее важным) классом про- p групп являются p -адические аналитические группы: группы со структурой аналитического многообразия над , такие, что групповое умножение и инверсия являются аналитическими функциями. Работа Любоцкого и Манна в сочетании с решением Мишеля Лазара пятой проблемы Гильберта над p -адическими числами показывает, что про- p группа является p -адической аналитической тогда и только тогда, когда она имеет конечный ранг , т. е. существует положительное целое число такое, что любая замкнутая подгруппа имеет топологическое порождающее множество, состоящее не более чем из элементов. В более общем смысле было показано, что конечно порожденная проконечная группа является компактной p -адической группой Ли тогда и только тогда, когда она имеет открытую подгруппу, которая является равномерно мощной про-p-группой.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Теоремы кокласса были доказаны в 1994 году А. Шалевым и независимо CR Лидхэм-Грином. Теорема D является одной из этих теорем и утверждает, что для любого простого числа p и любого положительного целого числа r существует только конечное число про- p групп кокласса r . Этот результат о конечности является основополагающим для классификации конечных p -групп с помощью направленных графов коклассов .

• Каноническим примером являются p -адические целые числа.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

• Группа обратимых n на n матриц над имеет открытую подгруппу U, состоящую из всех матриц, сравнимых с единичной матрицей по модулю . Эта U является про- p группой. Фактически, p -адические аналитические группы, упомянутые выше, могут быть найдены как замкнутые подгруппы для некоторого целого n ,${\displaystyle \ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \ \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \ p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \ GL_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$
• Любая конечная p -группа также является про- p -группой (относительно постоянной обратной системы).
• Факт: Конечный гомоморфный образ про-p-группы является p-группой. (относится к JP Serre)

• Остаточная собственность (математика)
• Проконечная группа (см. свойство или факт 5)

• Диксон, Дж. Д.; дю Сотой, М. П. Ф .; Манн, А.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-п-группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, МР  1152800
• дю Сотуа, М.; Сигал, Д.; Шалев, А. (2000), Новые горизонты в группах поддержки , Биркхойзер, ISBN 0-8176-4171-8

Эта статья , связанная с топологией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е

Эта статья по теории групп — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е