Критерий обгона

В экономике критерий обгона используется для сравнения бесконечных потоков результатов. Математически он используется для правильного определения понятия оптимальности для задачи оптимального управления на неограниченном временном интервале. [1]

Часто решения политика могут иметь влияние, которое простирается на далекое будущее. Экономические решения, принятые сегодня, могут повлиять на экономический рост страны на неизвестное количество лет в будущем. В таких случаях часто бывает удобно моделировать будущие результаты как бесконечный поток. Затем может потребоваться сравнить два бесконечных потока и решить, какой из них лучше (например, чтобы принять решение о политике). Критерий обгона является одним из вариантов для такого сравнения.

Обозначение

Х {\displaystyle X} это набор возможных результатов. Например, это может быть набор положительных действительных чисел, представляющих возможный годовой валовой внутренний продукт . Он нормализован

Х ∞ {\displaystyle X^{\infty}} — это множество бесконечных последовательностей возможных результатов. Каждый элемент в имеет вид: . Х ∞ {\displaystyle X^{\infty}} х = ( х 1 , х 2 , … ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots )}

⪯ {\displaystyle \preceq} является частичным порядком . Если даны две бесконечные последовательности , возможно, что слабо лучше ( ) или что слабо лучше ( ) или что они несравнимы. х , у {\displaystyle x,y} х {\displaystyle x} х ⪰ у {\displaystyle x\succeq y} у {\displaystyle у} у ⪰ х {\displaystyle y\succeq x}

≺ {\displaystyle \prec} является строгим вариантом , т.е. если и не . ⪯ {\displaystyle \preceq} х ≺ у {\displaystyle x\prec y} х ⪯ у {\displaystyle x\preceq y} у ⪯ х {\displaystyle y\preceq x}

Кардинальное определение

≺ {\displaystyle \prec} называется «критерием обгона», если существует бесконечная последовательность действительных функций, такая что: [2] ты 1 , ты 2 , … : Х → Р {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots :X\to \mathbb {R} }

х ≺ у {\displaystyle x\prec y}      если да      ∃ Н 0 : ∀ Н > Н 0 : ∑ т = 1 Н ты т ( х т ) < ∑ т = 1 Н ты т ( у т ) {\displaystyle \exists N_{0}:\forall N>N_{0}:\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})<\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}

Альтернативное условие: [3] [4]

х ≻ у {\displaystyle x\succ y}      если да      0 < лим инф Н → ∞ ∑ т = 1 Н ты т ( х т ) − ∑ т = 1 Н ты т ( у т ) {\displaystyle 0<\lim \inf _{N\to \infty }\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})-\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})}

Примеры:

1. В следующем примере : х ≺ у {\displaystyle x\prec y}

х = ( 0 , 0 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle х=(0,0,0,0,...)}
у = ( − 1 , 2 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle у=(-1,2,0,0,...)}

Это показывает, что разница в одном временном периоде может повлиять на всю последовательность.

2. В следующем примере и несравнимы: х {\displaystyle x} у {\displaystyle у}

х = ( 4 , 1 , 4 , 4 , 1 , 4 , 4 , 1 , 4 , … ) {\displaystyle x=(4,1,4,4,1,4,4,1,4,\ldots )}
у = ( 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , … ) {\displaystyle y=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,\ldots )}

Частичные суммы сначала больше, затем меньше, а затем равны частным суммам , поэтому ни одна из этих последовательностей не «обгоняет» другую. х {\displaystyle x} у {\displaystyle у}

Это также показывает, что критерий обгона не может быть представлен одной кардинальной функцией полезности . То есть, не существует действительной функции такой, что если и только если . Один из способов увидеть это: [3] для каждого и : У {\displaystyle U} х ≺ у {\displaystyle x\prec y} У ( х ) < У ( у ) {\displaystyle U(x)<U(y)} а , б ∈ Р {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } а < б {\displaystyle а<б}

( а , а , … ) ≺ ( а + 1 , а , … ) ≺ ( б , б , … ) {\displaystyle (a,a,\ldots)\prec (a+1,a,\ldots)\prec (b,b,\ldots)}

Следовательно, существует множество непересекающихся непустых сегментов в с мощностью, подобной мощности . Напротив, каждое множество непересекающихся непустых сегментов в должно быть счетным множеством . ( Х , ≺ ) {\displaystyle (X,\prec)} Р {\displaystyle \mathbb {R} } ( Р , ≺ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\prec )}

Порядковое определение

Определим как подмножество, в котором только первые элементы T не равны нулю. Каждый элемент имеет вид . Х Т {\displaystyle X_{T}} Х ∞ {\displaystyle X^{\infty}} Х Т {\displaystyle X_{T}} ( х 1 , … , х Т , 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )}

≺ {\displaystyle \prec} называется «критерием обгона», если он удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Для каждого , есть полный порядок на Т {\displaystyle Т} ⪯ {\displaystyle \preceq} Х Т {\displaystyle X_{T}}

2. Для любого , является непрерывным отношением в очевидной топологии на . Т {\displaystyle Т} ⪯ {\displaystyle \preceq} Х Т {\displaystyle X_{T}}

3. Для каждого , является предпочтительно-независимым (см. теоремы Дебре#Аддитивность порядковой функции полезности для определения). Кроме того, для каждого , по крайней мере три из факторов в являются существенными (влияют на предпочтения). Т > 1 {\displaystyle Т>1} Х Т {\displaystyle X_{T}} Т ≥ 3 {\displaystyle T\geq 3} Х Т {\displaystyle X_{T}}

4.      если      х ≺ у {\displaystyle x\prec y} ∃ Т 0 : ∀ Т > Т 0 : ( х 1 , … , х Т , 0 , 0 , 0 , … ) ≺ ( у 1 , … , у Т , 0 , 0 , 0 , … ) {\displaystyle \exists T_{0}:\forall T>T_{0}:(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )\prec (y_{1},\ldots ,y_{T},0,0,0,\ldots )}

Каждый частичный порядок, удовлетворяющий этим аксиомам, также удовлетворяет первому кардинальному определению. [2]

Как объяснялось выше, некоторые последовательности могут быть несравнимы по критерию обгона. Вот почему критерий обгона определяется как частичное упорядочение на , а полное упорядочение только на . Х ∞ {\displaystyle X^{\infty}} Х Т {\displaystyle X_{T}}

Приложения

Критерий обгона используется в теории экономического роста . [5]

Он также используется в теории повторяющихся игр как альтернатива критерию предела средних значений и критерию дисконтированной суммы. См. теорему Фолка (теория игр)#Обгон . [3] [4]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Карлсон, ДА; Хаури, А.Б.; Лейзаровиц, А. (1991). «Определение оптимальности на неограниченном интервале времени». Оптимальное управление с бесконечным горизонтом . Берлин: Springer. С.  9–17 . ISBN 3-540-54249-3.
  2. ^ ab Брок, Уильям А. (1970). "Аксиоматическая основа критерия обгона Рамсея–Вайцзеккера". Econometrica . 38 (6): 927– 929. doi :10.2307/1909701. JSTOR  1909701.
  3. ^ abc Рубинштейн, Ариэль (1979). «Равновесие в супериграх с критерием обгона». Журнал экономической теории . 21 : 1– 9. doi :10.1016/0022-0531(79)90002-4.
  4. ^ ab Рубинштейн, А. (1980). «Сильное совершенное равновесие в супериграх». Международный журнал теории игр . 9 : 1– 12. doi :10.1007/BF01784792.
  5. ↑ См. статьи: Гейл, Купманс, Маккензи, фон Вайцзеккер и Брок.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Критерий_обгона&oldid=1265003107"