Теорема Оссермана–Ксавье–Фуджимото
В математической области дифференциальной геометрии теорема Оссермана –Ксавье–Фудзимото касается отображений Гаусса минимальных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Она гласит, что если минимальная поверхность погружена и геодезически полна , то образ отображения Гаусса либо состоит из одной точки (так что поверхность является плоскостью), либо содержит всю сферу, за исключением максимум четырех точек.
Теорема Бернштейна утверждает, что минимальный граф в R 3 , который является геодезически полным, должен быть плоскостью. Это можно перефразировать так, что отображение Гаусса полной погруженной минимальной поверхности в R 3 либо постоянно, либо не содержится внутри открытой полусферы. Как предположил Луи Ниренберг и доказал Роберт Оссерман в 1959 году, в этой форме теорему Бернштейна можно обобщить так, что изображение отображения Гаусса полной погруженной минимальной поверхности в R 3 либо состоит из одной точки, либо плотно внутри сферы. [1]
Теорема Оссермана была улучшена Фредерико Ксавье и Хиротакой Фудзимото в 1980-х годах. Они доказали, что если изображение отображения Гаусса полной погруженной минимальной поверхности в R 3 исключает более четырех точек сферы, то поверхность является плоскостью. [2] Это оптимально, поскольку Конрад Фосс в 1960-х годах показал, что для любого подмножества A сферы, дополнение которой состоит из нуля, одной, двух, трех или четырех точек, существует полная погруженная минимальная поверхность в R 3 , отображение Гаусса которой имеет изображение A . [3] Конкретные примеры включают минимальную поверхность Римана , отображение Гаусса которой сюръективно, поверхность Эннепера , отображение Гаусса которой исключает одну точку, катеноид и геликоид , отображения Гаусса которых исключают две точки, и первую поверхность Шерка , отображение Гаусса которой исключает четыре точки.
Также возможно изучать отображение Гаусса минимальных поверхностей более высокой коразмерности в многомерных евклидовых пространствах. Существует ряд вариантов результатов Оссермана, Ксавье и Фудзимото, которые можно изучать в этой обстановке. [4]
Ссылки
- ^ Лоусон 1980, Раздел III.5; Ницше 1965, Раздел V.1; Оссерман 1986, Раздел 8.
- ^ Диркес и др. 1992, Теорема 3.7.1.
- ^ Диркес и др. 1992 г., предложение 3.7.4; Ниче 1965, Раздел В.1.5; Оссерман 1986, раздел 8.
- ^ Чэнь 2000, Раздел 5.6.2; Яу 1993, Задача 33.
Источники
- Chen, Bang-yen (2000). "Римановы подмногообразия". В Dillen, FJE; Verstraelen, LCA (ред.). Справочник по дифференциальной геометрии, том I. Справочник по дифференциальной геометрии. Том 1. Амстердам: Северная Голландия. С. 187– 418. arXiv : 1307.1875 . doi :10.1016/S1874-5741(00)80006-0. ISBN 978-0-444-82240-6. MR 1736854. Zbl 0968.53002.
- Диркс, У.; Хильдебрандт, С.; Кюстер, А.; Вольраб, О. (1992). «Минимальные поверхности». Минимальные поверхности I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 295. Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag . стр. 53–88 . doi :10.1007/978-3-662-02791-2_3. ISBN 978-3-662-02793-6. MR 1215267. Zbl 0777.53012.
- Лоусон, Х. Блейн-младший (1980). Лекции по минимальным подмногообразиям. Том I. Серия лекций по математике. Том 9 (Второе издание оригинального издания 1977 года). Уилмингтон, Делавэр: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-18-7. MR 0576752. Zbl 0434.53006.
- Ницше, Иоганнес CC (1965). "О новых результатах в теории минимальных поверхностей" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 71 (2): 195– 270. doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11276-9 . MR 0173993. Zbl 0135.21701.
- Osserman, Robert (1986). Обзор минимальных поверхностей (Второе издание оригинального издания 1969 года). Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-64998-9. MR 0852409. Zbl 0209.52901.
- Yau, Shing-Tung (1993). "Открытые проблемы в геометрии". В Greene, Robert ; Yau, ST (ред.). Дифференциальная геометрия: уравнения с частными производными на многообразиях . Летний институт Американского математического общества по дифференциальной геометрии (Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, 9–27 июля 1990 г.). Труды симпозиумов по чистой математике. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 1–28 . doi :10.1090/pspum/054.1. ISBN 978-0-8218-1494-9. MR 1216573. Zbl 0801.53001.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Ниренберга». Из MathWorld–A Wolfram Web Resource.
 | Эта статья , связанная с геометрией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее. |
