Модель Осипкова–Мерритта
Функции распределения Осипкова-Мерритта, полученные из моделей галактик, подчиняющихся закону Джаффе по плотности. Изотропная модель, , изображена жирной линией. ф = ф ( Э ) {\displaystyle f=f(E)}

Модели Осипкова–Мерритта (названные в честь Леонида Осипкова и Дэвида Мерритта ) являются математическими представлениями сферических звездных систем ( галактик , звездных скоплений , шаровых скоплений и т. д.). Формула Осипкова–Мерритта генерирует однопараметрическое семейство функций распределения фазового пространства , которые воспроизводят заданный профиль плотности (представляющий звезды) в заданном гравитационном потенциале (в котором движутся звезды). Плотность и потенциал не обязательно должны быть самосогласованно связаны. Свободный параметр регулирует степень анизотропии скорости, от изотропных до полностью радиальных движений. Метод является обобщением формулы Эддингтона [1] для построения изотропных сферических моделей.

Метод был разработан независимо двумя его одноименными первооткрывателями. [2] [3] Последний вывод включает два дополнительных семейства моделей (тип IIa, b) с тангенциально анизотропными движениями.

Вывод

Согласно теореме Джинса , фазовая плотность звезд f должна быть выражена через изолирующие интегралы движения, которые в сферической звездной системе представляют собой энергию E и момент импульса J. Анзац Осипкова-Мерритта имеет вид

ф = ф ( В ) = ф ( Э + Дж. 2 / 2 г а 2 ) {\displaystyle f=f(Q)=f(E+J^{2}/2r_{a}^{2})}

где r a , "радиус анизотропии", является свободным параметром. Этот анзац подразумевает, что f является константой на сфероидах в пространстве скоростей, поскольку

2 В = в г 2 + ( 1 + г 2 / г а 2 ) в т 2 + 2 Ф ( г ) {\displaystyle 2Q=v_{r}^{2}+(1+r^{2}/r_{a}^{2})v_{t}^{2}+2\Фи (r)}

где v r , v t — компоненты скорости, параллельные и перпендикулярные радиус-вектору r , а Φ( r ) — гравитационный потенциал .

Плотность ρ представляет собой интеграл по скоростям f :

ρ ( г ) = 2 π ∫ ∫ ф ( Э , Дж. ) в т г в т г в г {\displaystyle \rho (r)=2\pi \int \int f(E,J)v_{t}dv_{t}dv_{r}}

что можно написать

ρ ( г ) = 2 π г 2 ∫ Ф 0 г В ф ( В ) ∫ 0 2 г 2 ( В − Ф ) / ( 1 + г 2 / г а 2 ) г Дж. 2 [ 2 ( В − Ф ) − ( Дж. 2 / г 2 ) ( 1 + г 2 / г а 2 ) ] − 1 / 2 {\displaystyle \rho (r)={2\pi \over r^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQf(Q)\int _{0}^{2r^{2}(Q-\Phi )/(1+r^{2}/r_{a}^{2})}dJ^{2}\left[2(Q-\Phi )-(J^{2}/r^{2})(1+r^{2}/r_{a}^{2})\right]^{-1/2}}

или

ρ ( г ) = 4 π 1 + г 2 / г а 2 ∫ Ф 0 г В 2 ( В − Ф ) ф ( В ) . {\displaystyle \rho (r)={4\pi \over 1+r^{2}/r_{a}^{2}}\int _{\Phi }^{0}dQ{\sqrt {2(Q-\Phi )}}f(Q).}

Это уравнение имеет форму интегрального уравнения Абеля и может быть обращено, чтобы получить f через ρ :

ф ( В ) = 2 4 π 2 г г В ∫ В 0 г Ф Ф − В г ρ ′ г Ф ,           ρ ′ ( Ф ) = [ 1 + г ( Ф ) 2 / г а 2 ] ρ [ г ( Ф ) ] . {\displaystyle f(Q)={{\sqrt {2}} \over 4\pi ^{2}}{d \over dQ}\int _{Q}^{0}{d\Phi \over {\sqrt {\Phi -Q}}}{d\rho ^{'} \over d\Phi },\ \ \ \ \ \ \rho ^{'}(\Phi )=\left[1+r(\Phi )^{2}/r_{a}^{2}\right]\rho \left[r(\Phi )\right].}

Характеристики

Следуя выводу, аналогичному приведенному выше, дисперсии скоростей в модели Осипкова–Мерритта удовлетворяют

σ г 2 σ т 2 = 1 + г 2 г а 2 . {\displaystyle {\sigma _{r}^{2} \over \sigma _{t}^{2}}=1+{r^{2} \over r_{a}^{2}}.}

Движения почти радиальные ( ) для и почти изотропные ( ) для . Это желательная особенность, поскольку звездные системы, которые формируются посредством гравитационного коллапса, имеют изотропные ядра и радиально-анизотропные оболочки. [4] σ г ≫ σ т {\displaystyle \сигма _{r}\gg \сигма _{t}} г ≫ г а {\displaystyle r\gg r_{a}} σ г ≈ σ т {\displaystyle \sigma _{r}\approx \sigma _{t}} г ≪ г а {\displaystyle r\ll r_{a}}

Если r a назначено слишком малое значение, f может быть отрицательным для некоторых Q . Это следствие того факта, что сферические модели масс не всегда могут быть воспроизведены чисто радиальными орбитами. Поскольку число звезд на орбите не может быть отрицательным, значения r a, которые генерируют отрицательные f' s, являются нефизическими. Этот результат можно использовать для ограничения максимальной степени анизотропии сферических моделей галактик. [3]

В своей статье 1985 года Мерритт определил два дополнительных семейства моделей («Тип II»), которые имеют изотропные ядра и тангенциально анизотропные оболочки. Оба семейства предполагают

ф = ф ( Э − Дж. 2 / 2 г а 2 ) {\displaystyle f=f(EJ^{2}/2r_{a}^{2})} .

В моделях типа IIa орбиты становятся полностью круговыми при r=r a и остаются таковыми при всех больших радиусах. В моделях типа IIb звезды за пределами r a движутся по орбитам с различными эксцентриситетами, хотя движение всегда смещено в сторону кругового. В обоих семействах тангенциальная дисперсия скорости претерпевает скачок, когда r увеличивается после r a .

CM Каролло и др. (1995) [5] выводят многие наблюдаемые свойства моделей Осипкова–Мерритта типа I.

Приложения

Типичные области применения моделей Осипкова–Мерритта включают:

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Эддингтон, А. (1916), Распределение звезд в шаровых скоплениях, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 76 , 572
  2. ^ Осипков, Л.П. (1979), Сферические системы гравитирующих тел с эллипсоидальным распределением скоростей, Письма в Астрон. журнал. , 5 , 77
  3. ^ ab Merritt, D. (1985), Сферические звездные системы со сфероидальным распределением скоростей, Astron. J. , 90 , 1027
  4. ^ Ван Альбада, Т. (1983), Формирование галактик без диссипации и закон R в 1/4 степени, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 201 , 939
  5. ^ Каролло, CM и др. (1995), Профили скоростей моделей Осипкова-Мерритта, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 276 , 1131
  6. ^ Lupton, R. et al. (1989), Внутренние дисперсии скоростей трех молодых звездных скоплений в Большом Магеллановом Облаке, Astrophys. J. , 347 , 201
  7. ^ Нолтениус, Р. и Форд, Х. (1987), Масса и дисперсионный профиль гало M32, Astrophys. J. , 305 , 600
  8. ^ Сотникова, Н.Я. и Родионов С.А. (2008), Анизотропные модели темных гало, Астрон. Летт. , 34 , 664-674
  9. ^ Локас, Э. и Мамон, ГА (2001), Свойства сферических галактик и скоплений с профилем плотности NFW, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 321 , 155
  10. ^ Мэй, А. и Бинни, Дж. (1986), Проверка устойчивости звездных систем, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 221 , 13
  11. ^ Саха, П. (1991), Неустойчивые режимы сферической звездной системы, Mon. Not. R. Astron. Soc. , 248 , 494
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Osipkov–Merritt_model&oldid=972730979"