Ортоцентрический тетраэдр

Тетраэдр, в котором все пары противоположных ребер перпендикулярны

Четыре высоты ортогонального тетраэдра пересекаются в его *ортоцентре* . Ребра AB, BC, CA перпендикулярны, соответственно, ребрам CD, AD, BD.

В геометрии ортоцентрический тетраэдр — это тетраэдр , в котором все три пары противоположных ребер перпендикулярны . Он также известен как ортогональный тетраэдр, поскольку ортогональный означает перпендикулярный. Впервые он был изучен Симоном Люилье в 1782 году и получил название ортоцентрический тетраэдр от Ж. де Лоншамса в 1890 году. ^[1]

В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты пересекаются . Эта общая точка называется ортоцентром тетраэдра (обобщением ортоцентра треугольника ). Она обладает тем свойством, что является симметричной точкой центра описанной сферы относительно центроида . ^{[1] Следовательно}, ортоцентр совпадает с точкой Монжа тетраэдра.

Характеристика

Все тетраэдры можно вписать в параллелепипед . Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда описанный им параллелепипед является ромбоэдром . Действительно, в любом тетраэдре пара противоположных ребер перпендикулярна тогда и только тогда, когда соответствующие грани описанного параллелепипеда являются ромбами. Если четыре грани параллелепипеда являются ромбами, то все ребра имеют одинаковую длину и все шесть граней являются ромбами; отсюда следует, что если две пары противоположных ребер в тетраэдре перпендикулярны, то перпендикулярна и третья пара, и тетраэдр является ортоцентрическим. ^[1]

Тетраэдр $ABCD$ является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда сумма квадратов противоположных ребер одинакова для трех пар противоположных ребер: ^[2]^[3]

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2} = {\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}.

На самом деле, для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, достаточно, чтобы этому условию удовлетворяли всего две пары противоположных ребер.

Другим необходимым и достаточным условием ортоцентричности тетраэдра является то, что три его бимедианы имеют одинаковую длину. ^[3]

Объем

Характеристика относительно ребер подразумевает, что если известны только четыре из шести ребер ортоцентрического тетраэдра, то оставшиеся два могут быть вычислены, если только они не противоположны друг другу. Поэтому объем ортоцентрического тетраэдра может быть выражен через четыре ребра a , b , c , d . Формула имеет вид ^[4]

V={\frac {1}{6}}{\sqrt {4(c^{2}+d^{2})s(sa)(sb)(sc)-a^{2}b^{2}c^{2}}}

где c и d — противоположные края, а . $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$

Смотрите также

Ссылки

^ abc Court, NA (октябрь 1934), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499– 502, doi :10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
^ Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976-1990», Anthem Press, 2005, стр. 175-176.
^ ab Хазевинкель, Михил , «Энциклопедия математики: Приложение, том 3», Kluwer Academic Publishers, 1997, стр. 468.
^ Андрееску, Титу и Гелча, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30-31, 159.

[Court-1] Court, NA (октябрь 1934), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499– 502, doi :10.2307/2300415, JSTOR 2300415.

[2] Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976-1990», Anthem Press, 2005, стр. 175-176.

[Hazewinkel-3] Хазевинкель, Михил , «Энциклопедия математики: Приложение, том 3», Kluwer Academic Publishers, 1997, стр. 468.

[Andreescu-4] Андрееску, Титу и Гелча, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30-31, 159.