Теорема Орлича–Петтиса

Теорема функционального анализа о сходящихся рядах (Орлич) или, что то же самое, счетной аддитивности мер (Петтис ) со значениями в абстрактных пространствах.

Пусть будет хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством с дуальным . Ряд является подрядом, сходящимся (в ), если все его подряды сходятся. Теорема утверждает, что, что эквивалентно, Х {\displaystyle X} Х ∗ {\displaystyle X^{*}} ∑ н = 1 ∞   х н {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}~x_{n}} Х {\displaystyle X} ∑ к = 1 ∞   х н к {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}~x_{n_{k}}}

  • (i) Если ряд слабо сходится как подряд в (т.е. является подрядом, сходящимся в относительно его слабой топологии ), то он (подряд) сходится; или ∑ н = 1 ∞   х н {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}~x_{n}} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} σ ( Х , Х ∗ ) {\displaystyle \сигма (X,X^{*})}
  • (ii) Пусть будет -алгеброй множеств и пусть будет аддитивной функцией множеств . Если слабо счетно-аддитивно, то она счетно-аддитивна (в исходной топологии пространства ). А {\displaystyle \mathbf {A} } σ {\displaystyle \sigma } μ : A → X {\displaystyle \mu :\mathbf {A} \to X} μ {\displaystyle \mu } X {\displaystyle X}

История происхождения теоремы довольно сложна. В многочисленных статьях и книгах есть неверные цитаты и/или неверные представления относительно результата. Предполагая, что является слабо секвенциально полным банаховым пространством, В. Орлич [1] доказал следующее X {\displaystyle X}

Теорема. Если ряд слабо безусловно Коши, т. е. для каждого линейного функционала , то ряд сходится (по норме) в . ∑ n = 1 ∞   x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }~x_{n}} ∑ n = 1 ∞ | x ∗ ( x n ) | < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x^{*}(x_{n})|<\infty } x ∗ ∈ X ∗ {\displaystyle x^{*}\in X^{*}} X {\displaystyle X}

После публикации статьи Орлич понял, что в доказательстве теоремы слабая секвенциальная полнота использовалась только для того, чтобы гарантировать существование слабых пределов рассматриваемого ряда. Следовательно, предполагая существование этих пределов, что равнозначно предположению о слабой сходимости подрядов ряда, то же доказательство показывает, что ряд по норме сходится. Другими словами, верна версия (i) теоремы Орлича–Петтиса. Теорема в этой форме, открыто приписываемая Орличу, появилась в монографии Банаха [2] в последней главе Remarques , в которой не было приведено никаких доказательств. Петтис напрямую ссылался на теорему Орлича в книге Банаха. Нуждаясь в результате для того, чтобы показать совпадение слабых и сильных мер, он предоставил доказательство. [3] Также Данфорд дал доказательство [4] (с замечанием, что оно похоже на оригинальное доказательство Орлича). X {\displaystyle X}

Более подробное обсуждение истоков теоремы Орлича–Петтиса и, в частности, статьи [5] можно найти в. [6] См. также сноску 5 на стр. 839 [7] и комментарии в конце раздела 2.4 2-го издания цитируемой книги Альбиака и Калтона. Хотя на польском языке, также имеется адекватный комментарий на стр. 284 цитируемой монографии Алексиевича , первого аспиранта Орлича, [8] еще в оккупированном Львове.

В [9] Гротендик доказал теорему, частным случаем которой является теорема Орлича–Петтиса в локально выпуклых пространствах. Позднее более прямые доказательства формы (i) теоремы в локально выпуклом случае были предоставлены МакАртуром и Робертсоном. [10] [11]

Теоремы типа Орлича-Петтиса

Теорема Орлича и Петтиса была усилена и обобщена во многих направлениях. Ранним обзором этой области исследований является статья Калтона. [12] Естественным окружением для сходимости подрядов является абелева топологическая группа , и представительным результатом этой области исследований является следующая теорема, названная Калтоном теоремой Грейвса-Лабуды-Пахла. [13] [14] [15] X {\displaystyle X}

Теорема. Пусть — абелева группа и две топологии хаусдорфовой группы на , такие, что является секвенциально полной, , и тождество универсально измеримо. Тогда сходимость подрядов для обеих топологий и одинакова. X {\displaystyle X} α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } X {\displaystyle X} ( X , β ) {\displaystyle (X,\beta )} α ⊂ β {\displaystyle \alpha \subset \beta } j : ( X , α ) → ( X , β ) {\displaystyle j:(X,\alpha )\to (X,\beta )} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }

Как следствие, если — секвенциально полная K-аналитическая группа, то заключение теоремы верно для любой топологии хаусдорфовой группы слабее . Это обобщение аналогичного результата для секвенциально полной аналитической группы [16] (в исходной формулировке теоремы Андерсена-Кристенсена предположение о секвенциальной полноте отсутствует [17] ), что в свою очередь расширяет соответствующую теорему Калтона для польской группы [18] , теорему, которая инициировала эту серию статей. ( X , β ) {\displaystyle (X,\beta )} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } ( X , β ) {\displaystyle (X,\beta )}

Ограничения для такого рода результатов обусловлены слабой* топологией банахова пространства и примерами F-пространств с разделяющим дуальным, такими, что слабая (т.е. ) сходимость подрядов не подразумевает сходимость подрядов в F-норме пространства . [19] [20] ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} X {\displaystyle X} X ∗ {\displaystyle X^{*}} σ ( X , X ∗ ) {\displaystyle \sigma (X,X^{*})} X {\displaystyle X}

Ссылки

  1. ^ В. Орлич, Beiträge zur Theorie der Orthhogonalentwicklungen II, Studia Mathematica 1 (1929), 241–255.
  2. ^ Теория линейных операций, Математическая монография, Варшава, 1932; Творения. Том. II}, PWN, Варшава, 1979 г.
  3. ^ Б. Дж. Петтис, Об интегрировании в векторных пространствах, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 277–304.
  4. ↑ Н. Данфорд, Равномерность в линейных пространствах, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 305–356.
  5. ^ В. Орлич, Beiträge zur Theorie der Orthhogonalentwicklungen II, Studia Mathematica 1 (1929), 241–255.
  6. ^ В. Фильтр и И. Лабуда, Очерки теоремы Орлича-Петтса, I (Две теоремы), Real Analysis Exchange 16(2) , 1990-91, 393--403.
  7. ^ В. Орлич, Собрание сочинений, т. 1, PWN-Polish Scientific Publishers, Варшава, 1988.
  8. ^ «Владислав Орлич — проект генеалогии математики».
  9. ^ А. Гротендик, Sur les applications linéaires faiblement Compacts d'espaces du type C(K), Canadian Journal of Mathematics 3 (1953), 129–173.
  10. ^ CW McArthur О теореме Орлича и Петтиса, Pacific Journal of Mathematics 22 (1967), 297--302.
  11. ^ А. П. Робертсон, О безусловной сходимости в топологических векторных пространствах, Proc. Roy. Soc. Edinburgh A , 68 (1969), 145--157.
  12. ^ Найджел Калтон, Теорема Орлича-Петтиса, Contemporary Mathematics 2 (1980), 91–100.
  13. ^ Иво Лабуда, Универсальная измеримость и суммируемые семейства в топологических векторных пространствах, Indagationes Mathematicae (NS) 82 (1979), 27-34.
  14. ^ Дж. К. Пахл, Примечание к теореме Орлича-Петтиса, Indagationes Mathematicae (NS) 82 (1979), 35-37.
  15. ^ WH Graves, Универсальная измеримость по Лузину и подсемейные суммируемые семейства в абелевых топологических группах, Труды Американского математического общества 73 (1979), 45--50.
  16. ^ NJM Andersen и JPR Christensen, Некоторые результаты о борелевских структурах с приложениями к сходимости подрядов в абелевых топологических группах, Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 414--420.
  17. ^ И. Лабуда, Мера, категория и сходящиеся ряды, Real Anal. Exchange 32(2) (2017), 411--428.
  18. ^ NJ Kalton , Сходимость подрядов в топологических группах и векторных мерах, Israel Journal of Mathematics 10 (1971), 402-412.
  19. ^ М. Навроцкий, О свойстве Орлича-Петтиса в нелокально выпуклых F-пространствах, Труды Американского математического общества 101 (1987), 492--–496.
  20. ^ М. Навроцкий, Теорема Орлича-Петтиса неверна для пространств Харди Люмера ( L H ) p ( B ) {\displaystyle (LH)^{p}(B)} , Труды Американского математического общества 109 (1990), 957–963.
  • Алексевич, Анджей (1969). Анализ Функциональной . Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Варшава..
  • Albiac, Fernando; Kalton, Nigel (2016). Темы теории банахова пространства, 2-е изд . Springer. ISBN 9783319315553..
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Orlicz–Pettis_theorem&oldid=1196868243"