Порядковая полезность

В экономике функция порядковой полезности — это функция, представляющая предпочтения агента на порядковой шкале . Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спрашивать, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько он хорош. Вся теория принятия решений потребителями в условиях определенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам: «Я предпочитаю A по сравнению с B и B по сравнению с C». Предпочтения Джорджа можно представить функцией u, такой что:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственное осмысленное сообщение этой функции — это порядок ; фактические числа бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v :${\displaystyle и(А)>и(Б)>и(С)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

Функции u и v порядково эквивалентны — они одинаково хорошо представляют предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B намного меньше, чем между B и C, тогда как в v верно обратное. Следовательно, u и v не являются кардинально эквивалентными.

Концепция порядковой полезности была впервые введена Парето в 1906 году. ^[1]

Предположим, что множество всех состояний мира равно и агент имеет отношение предпочтения на . Слабое отношение предпочтения принято обозначать как , так что это читается как «агент хочет B по крайней мере так же, как и A».${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle A\preceq B}$

Символ используется как сокращение от отношения безразличия: , которое гласит: «Агент безразличен между B и A».${\displaystyle \сим }$${\displaystyle A\sim B\тогда и только тогда (A\preceq B\land B\preceq A)}$

Символ используется как сокращение для отношения сильного предпочтения: если:${\displaystyle \prec}$${\displaystyle A\prec B\тогда и только тогда (A\preceq B\и B\не \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\тогда и только тогда, когда u(A)\leq u(B)}$

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически с помощью кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров, x и y . Тогда каждая кривая безразличия показывает набор точек, таких что, если и находятся на одной кривой, то .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количеств двух товаров или услуг, все из которых одинаково удовлетворяют потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательная величина предельной нормы замещения X на Y) в любой точке показывает ставку, по которой индивид готов обменять товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпукла к началу координат, как показано, предполагая, что потребитель имеет убывающую предельную норму замещения. Можно показать, что анализ потребителей с кривыми безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности — т. е. потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цен этих товаров (принцип равномаржинальности).

Теория выявленных предпочтений рассматривает проблему того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Проблема теории выявленных предпочтений заключается частично в определении того, какие товарные наборы были отвергнуты, на основе того, что они были менее любимы, когда индивиды, как наблюдалось, выбирали определенные товарные наборы. ^{[2] [3]}

Для гарантии существования представляющей функции необходимы некоторые условия :${\displaystyle \preceq}$

• Транзитивность : если и то .${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq C}$${\displaystyle A\preceq C}$
• Полнота: для всех комплектов : один или оба варианта.${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq A}$
  • Полнота также подразумевает рефлексивность: для каждого : .${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle A\preceq A}$

Когда эти условия выполнены и множество конечно, легко создать функцию , которая представляет , просто присвоив соответствующее число каждому элементу , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечно . Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне . ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \prec}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1)}$

Когда бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но они не могут быть представлены никакой функцией полезности. ^[4] Дополнительным требуемым условием является непрерывность.${\displaystyle X}$

Отношение предпочтения называется непрерывным , если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменят порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждого множество топологически замкнуто в топологии произведения ( это определение требует, чтобы было топологическим пространством ).${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$
2. Для каждой последовательности , если для всех i и и , то .${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle B_{i}\to B}$${\displaystyle A\preceq B}$
3. Для каждого такого, что , существует шар вокруг и шар вокруг , такой что для каждого в шаре вокруг и каждого в шаре вокруг , (это определение требует , чтобы было метрическим пространством ).${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\prec B}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle а}$${\displaystyle А}$${\displaystyle б}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle a\prec b}$${\displaystyle X}$

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно, очевидно, непрерывно. По теоремам Дебре (1954) обратное также верно:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтения может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например, , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с и эти точки уступают . Это соответствует факту, указанному выше, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$${\displaystyle х<5}$${\displaystyle (5,0)}$

Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v . Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено многими различными функциями полезности. Те же предпочтения могут быть выражены как любая функция полезности, которая является монотонно возрастающим преобразованием v . Например, если

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

где — любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v порождают идентичные отображения кривых безразличия.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Эту эквивалентность кратко можно описать следующим образом:

Порядковая функция полезности единственна с точностью до возрастающего монотонного преобразования .

Напротив, кардинальная функция полезности уникальна с точностью до возрастающего аффинного преобразования . Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также эквивалентны и порядково, но не наоборот.

Предположим, что с этого момента множество представляет собой множество всех неотрицательных действительных двумерных векторов. Таким образом, элемент множества представляет собой пару , которая представляет собой количество потребленных двух продуктов, например, яблок и бананов.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)}$

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения представляется функцией полезности .${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle v(x,y)}$

Предположим, что отношение предпочтения монотонно возрастает , что означает, что «больше всегда лучше»:

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\ подразумевает (x,y)\prec (x,y')}$

Тогда обе частные производные, если они существуют, v положительны. Короче говоря:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтения, то функция полезности является монотонно возрастающей.

Предположим, что у человека есть набор и он утверждает, что ему безразлично, какой из наборов — этот и . Это означает, что он готов отдать единицы x, чтобы получить единицы y. Если это отношение сохраняется как , мы говорим, что это предельная норма замещения (MRS) между x и y в точке . ^{[5] : 82}${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$${\displaystyle \лямбда \cdot \дельта }$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \delta \to 0}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения – оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности и эта функция дифференцируема, то MRS можно вычислить из производных этой функции:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Например, если отношение предпочтения представлено как , то . MRS то же самое для функции . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтения – каждая из них является возрастающим монотонным преобразованием другой.${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

В общем случае MRS может быть разным в разных точках . Например, возможно, что при MRS низкий, потому что у человека много x и только один y , но при или MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (9,1)}$${\displaystyle (9,9)}$${\displaystyle (1,1)}$

Когда MRS некоторого отношения предпочтения не зависит от набора, т. е. MRS одинакова для всех , кривые безразличия линейны и имеют вид:${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

и отношение предпочтения может быть представлено линейной функцией:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Разумеется, то же самое отношение может быть представлено многими другими нелинейными функциями, такими как или , но линейная функция является наиболее простой.) ^{[5] : 85}${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

Когда MRS зависит от , но не от , отношение предпочтения может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

где - некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS - это функция , возможная функция может быть вычислена как интеграл от : ^{[6] [5] : 87}${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

В этом случае все кривые безразличия параллельны – они являются горизонтальными переносами друг друга.

Более общим типом функции полезности является аддитивная функция :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Существует несколько способов проверить, можно ли представить заданные предпочтения с помощью аддитивной функции полезности.

Если предпочтения аддитивны, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$и

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$подразумевает

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

поэтому это свойство «двойного сокращения» является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что это свойство также является достаточным: то есть, если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то его можно представить аддитивной функцией полезности. ^[7]

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

так что это свойство "соответствующих компромиссов" является необходимым условием аддитивности. Это условие также является достаточным. ^{[8] [5] : 91}

Когда есть три или более товаров, условие аддитивности функции полезности на удивление проще, чем для двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960) . Условие, необходимое для аддитивности, — это предпочтительная независимость . ^{[5] : 104}

Подмножество товаров A называется предпочтительно независимым от подмножества товаров B, если отношение предпочтения в подмножестве A, при заданных постоянных значениях для подмножества B, не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: x y и z . Подмножество { x , y } является предпочтительно независимым от подмножества { z }, если для всех :${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

В этом случае мы можем просто сказать, что:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$для постоянного z .

Преференциальная независимость имеет смысл в случае независимых товаров . Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, имеющихся у агента, и наоборот.

По теореме Дебре, если все подмножества товаров являются предпочтительно независимыми от своих дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией ценности. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как может быть построена такая аддитивная функция ценности. ^[5] Доказательство предполагает три товара: x , y , z . Мы показываем, как определить три точки для каждой из трех функций ценности : точку 0, точку 1 и точку 2. Другие точки могут быть вычислены аналогичным образом, а затем непрерывность может быть использована для заключения о том, что функции хорошо определены во всем своем диапазоне.${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 баллов : выберите произвольные значения и присвойте им значение нуля функции, т.е.:${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 балл : выберите произвольное число, такое, что . Установите его в качестве единицы измерения, т.е.:${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Выберите и так, чтобы выполнялись следующие соотношения безразличия: ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z, чтобы они соответствовали единицам x . Значение в этих трех точках должно быть равно 1, поэтому мы назначаем

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 балл : Теперь мы используем предположение о предпочтительной независимости. Связь между и не зависит от z , и аналогично связь между и не зависит от x , а связь между и не зависит от y . Следовательно${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Это полезно, поскольку означает, что функция v может иметь одно и то же значение – 2 – в этих трех точках. Выберите так, чтобы${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

и назначить

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 балла : Чтобы показать, что наши назначения до сих пор согласованы, мы должны показать, что все точки, которые получают общее значение 3, являются точками безразличия. Здесь, снова, используется предположение о предпочтительной независимости, поскольку отношение между и не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно,${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

и аналогично для других пар. Таким образом, точка 3 определяется последовательно.

Мы можем продолжить этот процесс по индукции и определить функции для каждого товара во всех целочисленных точках, а затем использовать непрерывность для определения их во всех действительных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства заключается в том, что все три товара являются необходимыми или релевантными по предпочтениям . ^{[7] : 7} Это означает, что существует набор, такой что при увеличении количества определенного товара новый набор строго лучше.

Доказательство для более чем 3 товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек являются предпочтительно независимыми; достаточно проверить линейное число пар товаров. Например, если есть различные товары, , то достаточно проверить, что для всех , два товара являются предпочтительно независимыми от других товаров. ^{[5] : 115}${\displaystyle m}$${\displaystyle j=1,...,m}$${\displaystyle j=1,...,m-1}$${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$${\displaystyle m-2}$

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено многими различными аддитивными функциями полезности. Однако все эти функции похожи: они не только являются увеличивающимися монотонными преобразованиями друг друга (как все функции полезности, представляющие одно и то же отношение); они являются увеличивающимися линейными преобразованиями друг друга. ^{[7] : 9} Короче говоря,

Аддитивная ординальная функция полезности единственна с точностью до возрастающего линейного преобразования .

Математические основы наиболее распространенных типов функций полезности — квадратичных и аддитивных — заложенные Жераром Дебре ^{[9] [10],} позволили Андранику Тангяну разработать методы их построения из чисто порядковых данных. В частности, аддитивные и квадратичные функции полезности в переменных могут быть построены из интервью лиц, принимающих решения, где вопросы направлены на отслеживание полностью двумерных кривых безразличия в координатных плоскостях без ссылки на кардинальные оценки полезности. ^{[11] [12]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

• Лексикографическое отношение предпочтения не может быть представлено функцией полезности. В Economics.SE
• Распознавание линейных порядков, вложимых в R2, упорядоченных лексикографически. В Math.SE.
• Мюррей Н. Ротбард , «К реконструкции экономики полезности и благосостояния»