Опцион на реализованную дисперсию

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Вариант на реализованную дисперсию» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В финансах опцион на реализованную дисперсию (или опцион на дисперсию ) — это тип производных финансовых инструментов на дисперсию, представляющих собой производные ценные бумаги, по которым выплата зависит от годовой реализованной дисперсии доходности определенного базового актива, такого как фондовый индекс, облигация, валютный курс и т. д. Другой ликвидируемой ценной бумагой того же типа является своп на дисперсию , который, другими словами, представляет собой фьючерсный контракт на реализованную дисперсию.

С похожим понятием на ванильные опционы, опционы на дисперсию дают владельцу право, но без обязательств, купить или продать реализованную дисперсию в обмен на некоторую согласованную цену (страйк дисперсии) когда-нибудь в будущем (дата истечения срока), за исключением того, что подверженность риску зависит исключительно от самой дисперсии цены. Это свойство вызывает интерес у трейдеров, поскольку они могут использовать его как инструмент для спекуляции будущим движением волатильности актива, например, для дельта-хеджирования портфеля, не принимая на себя направленный риск владения базовым активом.

На практике годовая реализованная дисперсия определяется суммой квадрата дискретно-выборочной логарифмической доходности указанного базового актива. Другими словами, если есть точки выборки базовых цен, скажем, наблюдаемые в момент времени, когда для всех , то реализованная дисперсия, обозначенная как , оценивается в форме${\displaystyle n+1}$${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$${\displaystyle i\in \{1,\точки ,n\}}$${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}}$

где

• ${\displaystyle А}$— это годовой фактор, который обычно выбирается, если цена отслеживается ежедневно, или в случае еженедельного или ежемесячного наблюдения, соответственно, и${\displaystyle А=252}$${\displaystyle А=52}$${\displaystyle А=12}$
• ${\displaystyle Т}$это дата истечения срока опциона, которая равна числу${\displaystyle н/{А}.}$

Если положить

• ${\displaystyle K_{\text{var}}^{C}}$быть забастовкой отклонения и
• ${\displaystyle L}$быть условной суммой, конвертирующей выплаты в денежную единицу, например, доллары США или фунты стерлингов,

то выплаты по истечении срока действия опционов колл и пут (или просто дисперсия опционов колл и пут) составляют${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle (RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\times L}$

и

${\displaystyle (K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\times L}$

соответственно.

Обратите внимание, что годовая реализованная дисперсия может быть также определена посредством непрерывной выборки, что привело к квадратичной вариации базовой цены. То есть, если мы предположим, что определяет мгновенную волатильность ценового процесса, тогда${\displaystyle \сигма (т)}$

${\displaystyle RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}$

определяет годовую реализованную дисперсию непрерывной выборки, которая также является пределом вероятности дискретной формы ^[1], т.е.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}}$.

Однако этот подход применяется только для приближения к дискретному, поскольку контракты, включающие реализованную дисперсию, фактически котируются в терминах дискретной выборки.

Предположим, что при нейтральной к риску мере цена базового актива решает изменяющуюся во времени модель Блэка-Шоулза следующим образом:${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

где:

• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$(изменяющаяся во времени) безрисковая процентная ставка,
• ${\displaystyle \сигма (t)>0}$это (изменяющаяся во времени) волатильность цен, и
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$представляет собой броуновское движение в отфильтрованном вероятностном пространстве, где представляет собой естественную фильтрацию .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle W}$

ฺПри такой настройке, в случае опциона колл с дисперсией, его справедливая цена в момент времени, обозначенный как , может быть достигнута с помощью ожидаемой приведенной стоимости его функции выплат, т.е.${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$

${\displaystyle C_{t_{0}}^{\operatorname {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{(\cdot )}-K_{\operatorname {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

где для дискретной выборки, а для непрерывной выборки. И по паритету пут-колл мы также получаем значение пут, как только оно известно. К решению можно подойти аналитически с помощью методологии, аналогичной методологии вывода Блэка-Шоулза , как только воспринимается функция плотности вероятности , или с помощью некоторых схем аппроксимации, таких как метод Монте-Карло .${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{d}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{c}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}}$

• Дисперсионный своп
• Своп волатильности
• Волатильность (финансы)