Неравенство

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Inequation" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2010) (Learn how and when to remove this message)

В математике неравенство — это утверждение, что неравенство выполняется между двумя значениями. ^{[1] [2]} Обычно оно записывается в виде пары выражений, обозначающих рассматриваемые значения, со знаком отношения между ними, указывающим на конкретное отношение неравенства. Вот некоторые примеры неравенств:

• ${\displaystyle a<b}$
• ${\displaystyle x+y+z\leq 1}$
• ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

В некоторых случаях термин «неравенство» можно считать синонимом термина «неравенство» ^[3], тогда как в других случаях неравенство зарезервировано только для утверждений, отношение неравенства которых « не равно » (≠). ^[2]

Сокращенная запись используется для объединения нескольких неравенств, включающих общие выражения, путем их объединения в цепочку. Например, цепочка

${\displaystyle 0\leq a<b\leq 1}$

это сокращение от

${\displaystyle 0\leq a~~\mathrm {and} ~~a<b~~\mathrm {and} ~~b\leq 1}$

что также подразумевает, что и .${\displaystyle 0<b}$${\displaystyle a<1}$

В редких случаях используются цепочки без таких импликаций относительно отдаленных терминов. Например, это сокращение для , которое не подразумевает ^{[ требуется ссылка ]} Аналогично, это сокращение для , которое не подразумевает никакого порядка и . ^[4]${\displaystyle i\neq 0\neq j}$${\displaystyle i\neq 0~~\mathrm {and} ~~0\neq j}$${\displaystyle i\neq j.}$${\displaystyle a<b>c}$${\displaystyle a<b~~\mathrm {and} ~~b>c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

Подобно решению уравнений , решение неравенств означает нахождение того, какие значения (числа, функции, множества и т. д.) удовлетворяют условию, сформулированному в форме неравенства или конъюнкции нескольких неравенств. Эти выражения содержат одно или несколько неизвестных , которые являются свободными переменными, для которых ищутся значения, вызывающие выполнение условия. Если быть точным, то часто ищутся не обязательно фактические значения, а, в более общем смысле, выражения. Решение неравенства — это присвоение выражений неизвестным , которые удовлетворяют неравенству(ям); другими словами, выражения, такие, что при замене ими неизвестных, делают неравенства истинными предложениями. Часто дается дополнительное целевое выражение (т. е. уравнение оптимизации), которое должно быть минимизировано или максимизировано оптимальным решением. ^[5]

Например,

${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}$

— это конъюнкция неравенств, частично записанная в виде цепочек (где можно прочитать как «и»); множество ее решений показано на рисунке синим цветом (красная, зеленая и оранжевая линии соответствуют 1-му, 2-му и 3-му конъюнкту соответственно). Для более крупного примера см. Линейное программирование#Пример .${\displaystyle \land }$

Компьютерная поддержка решения неравенств описана в программировании ограничений ; в частности, симплексный алгоритм находит оптимальные решения линейных неравенств. ^[6] Язык программирования Prolog III также поддерживает алгоритмы решения для определенных классов неравенств (и других отношений) в качестве базовой языковой возможности. Подробнее см. Программирование логики ограничений .

Обычно из-за свойств определенных функций (например, квадратных корней) некоторые неравенства эквивалентны комбинации нескольких других. Например, неравенство логически эквивалентно следующим трем неравенствам, объединенным вместе:${\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}$

1. ${\displaystyle f(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle g(x)>0}$
3. ${\displaystyle f(x)<\left(g(x)\right)^{2}}$

Найдите значение слова «неравенство» в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Отношение обособленности — форма неравенства в конструктивной математике
• Уравнение
• Знак равенства
• Неравенство (математика)
• Реляционный оператор