Код препарата

В теории кодирования коды Препараты образуют класс нелинейных кодов с двойной коррекцией ошибок . Они названы в честь Франко П. Препараты , который впервые описал их в 1968 году.

Хотя коды Препараты нелинейны по GF(2), они линейны по Z ₄ с расстоянием Ли .

Пусть m — нечетное число, и . Сначала опишем расширенный код Препараты длины : затем код Препараты получается путем удаления одной позиции. Слова расширенного кода рассматриваются как пары ( X ,  Y ) из 2 ^m -кортежей, каждая из которых соответствует подмножествам конечного поля GF(2 ^m ) некоторым фиксированным образом.${\displaystyle n=2^{m}-1}$${\displaystyle 2n+2=2^{m+1}}$

Расширенный код содержит слова ( X ,  Y ), удовлетворяющие трем условиям

1. X , Y имеют одинаковый вес;
2. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x=\sum _{y\in Y}y;}$
3. ${\displaystyle \sum _{x\in X}x^{3}+\left(\sum _{x\in X}x\right)^{3}=\sum _{y\in Y}y^{3}.}$

Код Препарата получается путем удаления позиции в X, соответствующей 0 в GF(2 ^m ).

Код Препарата имеет длину 2 ^{м +1}  − 1, размер 2 ^k , где k = 2 ^{м  + 1}  − 2 м  − 2, и минимальное расстояние 5.

При m = 3 код Препараты длиной 15 также называется кодом Нордстрома–Робинсона .

• FP Preparata (1968). "Класс оптимальных нелинейных кодов, исправляющих двойные ошибки". Информация и управление . 13 (4): 378– 400. doi : 10.1016/S0019-9958(68)90874-7 . hdl : 2142/74662 .
• JH van Lint (1992). Введение в теорию кодирования. GTM . Т. 86 (2-е изд.). Springer-Verlag. С. 111–113. ISBN 3-540-54894-7.
• http://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Preparata_code
• http://www.encyclepediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes