Некоммутативный гармонический анализ

В математике некоммутативный гармонический анализ — это область, в которой результаты анализа Фурье распространяются на топологические группы , которые не являются коммутативными . ^[1] Поскольку локально компактные абелевы группы имеют хорошо понятную теорию, двойственность Понтрягина , которая включает в себя основные структуры рядов Фурье и преобразований Фурье , основной задачей некоммутативного гармонического анализа обычно считается расширение теории на все группы G , которые являются локально компактными . Случай компактных групп понимается, качественно и после теоремы Петера–Вейля 1920-х годов, как в целом аналогичный случаю конечных групп и их теории характеров .

Поэтому основной задачей является случай G , который локально компактен, не компактен и не коммутативен. Интересные примеры включают множество групп Ли , а также алгебраические группы над p-адическими полями . Эти примеры представляют интерес и часто применяются в математической физике и современной теории чисел , в частности, в автоморфных представлениях .

То, чего следует ожидать, известно как результат основной работы Джона фон Неймана . Он показал, что если групповая алгебра фон Неймана группы G имеет тип I, то L ² ( G ) как унитарное представление группы G является прямым интегралом неприводимых представлений. Следовательно, оно параметризуется унитарным дуальным , множеством классов изоморфизма таких представлений, которому задана топология оболочка-ядро . Аналог теоремы Планшереля абстрактно задается путем определения меры на унитарном дуальном , меры Планшереля , относительно которой берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля является некоторой мерой Хаара на дуальной группе к G , поэтому единственным вопросом является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно должна быть типа I, и регулярное представление группы G не может быть записано в терминах неприводимых представлений, даже если оно унитарно и полностью приводимо. Примером, где это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана является гиперконечным фактором типа II _1. Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростых групп и классов разрешимых групп Ли доступна очень подробная теория. ^[2]

• формула следа Сельберга
• Программа Лэнглендса
• теория орбиты Кириллова
• Представление дискретного ряда
• Зональная сферическая функция

• «Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармоны», Жак Кармона, Патрик Делорм, Мишель Вернь; Издательство Springer, ISBN 2004 г.  0-8176-3207-7 ^[3]
• Юрий И. Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988.