Теорема о невозможности удаления
Основная теорема квантовой обработки информации

В физике теорема о неудалении квантовой теории информации — это теорема о непрохождении , которая гласит, что, в общем случае, если даны две копии некоторого произвольного квантового состояния, то невозможно удалить одну из копий. Это обращенная во времени двойственная теорема о неудалении клонирования , [1] [2], которая гласит, что произвольные состояния не могут быть скопированы. Она была доказана Аруном К. Пати и Сэмюэлем Л. Браунштейном . [3] Интуитивно это происходит потому, что информация сохраняется при унитарной эволюции. [4]

Эта теорема кажется замечательной, поскольку во многих смыслах квантовые состояния хрупки; теорема утверждает, что в определенном случае они также устойчивы.

Теорема о запрете удаления вместе с теоремой о запрете клонирования лежат в основе интерпретации квантовой механики в терминах теории категорий и, в частности, как кинжальной симметричной моноидальной категории . [5] [6] Эта формулировка, известная как категорическая квантовая механика , в свою очередь позволяет установить связь между квантовой механикой и линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в точной аналогии с классической логикой, основанной на декартовых замкнутых категориях ).

Обзор

Предположим, что есть две копии неизвестного квантового состояния. Уместным вопросом в этом контексте является вопрос, возможно ли, имея две идентичные копии, удалить одну из них с помощью квантово-механических операций? Оказывается, что нельзя. Теорема о невозможности удаления является следствием линейности квантовой механики . Как и теорема о невозможности клонирования, это имеет важные последствия в квантовых вычислениях , квантовой теории информации и квантовой механике в целом.

Процесс квантового удаления берет две копии произвольного неизвестного квантового состояния на входном порту и выводит пустое состояние вместе с оригиналом. Математически это можно описать так:

У | ψ ⟩ А | ψ ⟩ Б | А ⟩ С = | ψ ⟩ А | 0 ⟩ Б | А ′ ⟩ С {\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C} = |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}}

где — унитарный оператор, — неизвестное квантовое состояние, — пустое состояние, — начальное состояние машины удаления, — конечное состояние машины. У {\displaystyle U} | ψ ⟩ А {\displaystyle |\psi \rangle _{A}} | 0 ⟩ Б {\displaystyle |0\rangle _{B}} | А ⟩ С {\displaystyle |A\rangle _{C}} | А ′ ⟩ С {\displaystyle |A'\rangle _{C}}

Можно отметить, что классические биты можно копировать и удалять, как и кубиты в ортогональных состояниях. Например, если у нас есть два одинаковых кубита , то мы можем преобразовать в и . В этом случае мы удалили вторую копию. Однако из линейности квантовой теории следует, что нет , который может выполнить операцию удаления для любого произвольного состояния . | 00 ⟩ {\displaystyle |00\rangle } | 11 ⟩ {\displaystyle |11\rangle } | 00 ⟩ {\displaystyle |00\rangle } | 10 ⟩ {\displaystyle |10\rangle } У {\displaystyle U} | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle }

Официальное заявление

Даны три гильбертовых пространства для систем , такие, что гильбертовы пространства для систем идентичны. А , Б , С {\displaystyle А,Б,В} А , Б {\displaystyle А,Б}

Если — унитарное преобразование, а — вспомогательное состояние, такое, что конечное состояние вспомогательного состояния может зависеть от , то — операция обмена в том смысле, что отображение представляет собой изометрическое вложение. У {\displaystyle U} | А ⟩ С {\displaystyle |A\rangle _{C}} У | ψ ⟩ А | ψ ⟩ Б | А ⟩ С = | ψ ⟩ А | 0 ⟩ Б | А ψ ⟩ С , ∀ | ψ ⟩ {\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C} = |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},\quad \forall |\psi \rangle } | А ψ ⟩ С {\displaystyle |A_{\psi}\rangle _{C}} | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } У {\displaystyle U} | ψ ⟩ А ↦ | А ψ ⟩ С {\displaystyle |\psi \rangle _{A}\mapsto |A_{\psi }\rangle _{C}}

Доказательство

Теорема справедлива для квантовых состояний в гильбертовом пространстве любой размерности. Для простоты рассмотрим преобразование удаления для двух идентичных кубитов. Если два кубита находятся в ортогональных состояниях, то удаление требует, чтобы

| 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А ⟩ С → | 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 0 ⟩ С {\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}} ,
| 1 ⟩ А | 1 ⟩ Б | А ⟩ С → | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 1 ⟩ С {\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}} .

Пусть будет состоянием неизвестного кубита. Если у нас есть две копии неизвестного кубита, то по линейности удаляющего преобразования имеем | ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }

| ψ ⟩ А | ψ ⟩ Б | А ⟩ С = [ α 2 | 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б + β 2 | 1 ⟩ А | 1 ⟩ Б + α β ( | 0 ⟩ А | 1 ⟩ Б + | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б ) ] | А ⟩ С {\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}}
→ α 2 | 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 0 ⟩ С + β 2 | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 1 ⟩ С + 2 α β | Ф ⟩ А Б С . {\displaystyle \qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.}

В приведенном выше выражении использовано следующее преобразование:

1 / 2 ( | 0 ⟩ А | 1 ⟩ Б + | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б ) | А ⟩ С → | Ф ⟩ А Б С . {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.}

Однако если мы можем удалить копию, то на выходном порту удаляющей машины объединенное состояние должно быть

| ψ ⟩ А | 0 ⟩ Б | А ′ ⟩ С = ( α | 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б + β | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б ) | А ′ ⟩ С {\displaystyle |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C} = (\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}} .

В общем случае эти состояния не идентичны, и поэтому можно сказать, что машина не может удалить копию. Если мы потребуем, чтобы конечные выходные состояния были одинаковыми, то увидим, что есть только один вариант:

| Ф ⟩ = 1 / 2 ( | 0 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 1 ⟩ С + | 1 ⟩ А | 0 ⟩ Б | А 0 ⟩ С ) , {\displaystyle |\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),}

и

| А ′ ⟩ С = α | А 0 ⟩ С + β | А 1 ⟩ С . {\displaystyle |A'\rangle _{C}=\альфа |A_{0}\rangle _{C}+\бета |A_{1}\rangle _{C}.}

Поскольку конечное состояние вспомогательного элемента нормализовано для всех значений , то должно быть верно, что и ортогональны. Это означает, что квантовая информация просто находится в конечном состоянии вспомогательного элемента. Всегда можно получить неизвестное состояние из конечного состояния вспомогательного элемента с помощью локальной операции над гильбертовым пространством вспомогательного элемента. Таким образом, линейность квантовой теории не позволяет идеально удалить неизвестное квантовое состояние. | А ′ ⟩ {\displaystyle |A'\rangle } α , β {\displaystyle \альфа,\бета} | А 0 ⟩ С {\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}} | А 1 ⟩ С {\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}

Последствие

  • Если бы можно было удалить неизвестное квантовое состояние, то, используя две пары состояний ЭПР , мы могли бы посылать сигналы быстрее света. Таким образом, нарушение теоремы о неудалении несовместимо с условием отсутствия сигнала .
  • Теоремы о запрете клонирования и запрете удаления указывают на сохранение квантовой информации.
  • Более сильные версии теоремы о неклонировании и теоремы о неудалении обеспечивают постоянство квантовой информации. Чтобы создать копию, необходимо импортировать информацию из какой-то части вселенной, а чтобы удалить состояние, необходимо экспортировать ее в другую часть вселенной, где она продолжит существовать.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ WK Wootters и WH Zurek, «Отдельный квант не может быть клонирован», Nature 299 (1982), стр. 802.
  2. ^ Д. Дайкс, «Связь с помощью устройств ЭПР», Physics Letters A , т. 92 (6) (1982), стр. 271.
  3. ^ AK Pati и SL Braunstein, «Невозможность удаления неизвестного квантового состояния», Nature 404 (2000), стр. 164.
  4. ^ Городецкий, Михал; Городецкий, Рышард; Сен(Де), Адити; Сен, Уйвал (2005-12-01). "Общее происхождение принципов сохранения информации без клонирования и удаления". Основы физики . 35 (12): 2041– 2049. arXiv : quant-ph/0407038 . Bibcode : 2005FoPh...35.2041H. doi : 10.1007/s10701-005-8661-4. ISSN  1572-9516.
  5. ^ Джон Баэз, Физика, топология, логика и вычисления: Розеттский камень (2009)
  6. ^ Боб Коек, Квантовый Пиктурализм , (2009) ArXiv 0908.1787
  7. ^ Квантовая теорема о несокрытии впервые экспериментально подтверждена. 07 марта 2011 г. Лиза Зайга
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=No-deleting_theorem&oldid=1260319540"